??? 型： ????例10 lim? 11110?000????? 化成了 型 1/?1/?000?0001??1??. x?1?x?1lnx??g(x), x?0,?例11 设f(x)??x 且 g(0)?g?(0)?0, g??(0)?3. 求f?(0). ? x?0.?0, g(x)?0f(x)?f(0)g(x)解 f?(0)?lim?limx?lim2 x?0x?x?0xxx ?lim00x?0g?(x)1g?(x)?g?(0)13?lim?g??(0)?. 2x2x?0x22 ?11?例12 lim?1??2?. n???nn?§ 3 Taylor公式 ( 3时 ) 一. 问题和任务: 泰勒定理的引入和基本思想 容易验证多项式函数 f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0 nf(n)(0)n?f(0)?f?(0)x???x n!一般函数上面的结果能否成立或近似成立呢？若一个函数能用多项式近似，对函数的计算、性质的研究就会大大简化。 几个常见函数的泰勒公式展开 （n= ，f=sym('f(x)') ，y=f(x)） clf, f=sym('sin(x)'); x=0:1/20:4; y=sin(x); z=taylor(f,'x=0',7); z1=taylor(f,'x=0',9); ezplot(z,[0,4]) hold on ezplot(z1,[0,4]) hold on plot(x,y,'r','linewidth',2) x-1/6 x3+1/120 x5-1/5040 x710.50-0.5-1-1.500.511.52x2.533.54 用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近到要求的精度. 二. Taylor( 1685—1731 )多项式: 分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式 定义 ?Taylor 多项式 Pn(x)及Maclaurin多项式三. Taylor公式和误差估计: 称 Rn(x)?f(x)?Pn(x)为余项. 称给出Rn(x)的定量或定性描述的式 ? f(x)?Pn(x)?Rn(x)为函数f(x)的Taylor公式. 1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) —— Taylor中值定理: Th 6.9 设函数f满足条件: ⅰ) 在闭区间[a,b]上f有直到n阶连续导数; ⅱ) 在开区间(a,b)内f有n?1阶导数. 则对 ?x?(a,b), ???(a,b), 使 f??(a)f(n)(a)2f(x)?f(a)?f?(a)(x?a)?(x?a)???(x?a)n? 2!n!
数学分析 微分中值定理及其应用 教案
