x?[x?[例 2 求函数 ?1313,13),f?(x)?0,f?(x)?0,f(x)? f(x)? ,??), f(x)?2x3?9x2?12x?3 的单调区间。 f='2*x^3-9*x^2+12*x-3'; dfdx=diff(f,'x') dfdx = 6*x^2-18*x+12 s='6*x^2-18*x+12'， x0=solve(s) 100 f(x)806040200-20 0-40-1 1 2 3 4 5 s =6*x^2-18*x+12 x0 = 1, 2 clf, x=-1:1/20:5;y=2*x.^3-9*x.^2+12*x-3; plot(x,y) Th 2 设函数f(x)在区间(a,b)内可导. 则在(a,b)内f(x)严格↗( 或严格↘) f??0 1 f??0 2 f??0 ? ⅰ） 对?x?(a,b), 有f?(x)?0 ( 或?0); ⅱ） 在(a,b)内任子区间上f?(x)??0. 例 证明不等式 ex?1?x 证明： 设 f(x)?ex?1?x?f?(x)?ex?1 x?0 时 f?(x)?0 ?x?0时f(x)?f(0)?0 §2 柯西中值定理和不等式极限 一 柯西中值定理 定理(6.5) 设 f(x)、g(x)满足 (i) 在区间 [a,b]上连续， (ii) 在 (a,b)内可导 (iii) f?(x),g?(x)不同时为零; (iv) g(b)?g(a) 则至少存在一点 ??(a,b) 使得 f(b)?f(a)f?(?)? g(b)?g(a)g(?)柯西中值定理的几何意义 若连续 曲线 由参数方程 P ??X?f(x)???Y?g(x)x?[a,b] 给出，除端点外处处有不垂直于 轴 的切线，则 行于割线 上存在一点 P处的切线平 .。 注意曲线 AB在点 (X,Y)处的切线的斜率为 ， 而弦 的斜率为 y. 受此启发，可以得出柯西中值定理 的证明如下： 由于， 类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数 o?X?F(x)??Y?f(x)MNBAF(a)F(?1)F(x)F(?2)F(b)x 容易验证 满足罗尔定理的条件且
数学分析 微分中值定理及其应用 教案
