f(b)?f(a)?f?(?)(b?a),??(a,b) f(b)?f(a)?f?[a??(b?a)](b?a),??(0,1) f(a?h)?f(a)?f?(a??h)h,??(0,1) 注5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：f在（a,b）可导可以推出?在（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数f(x)在（a，b）可导且f(x)在a右连续在b左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。 中值定理的简单应用: ( 讲1时 ) 3、拉格朗日中值定理的几个重要推论 推论1 函数f(x)在区间I上可导且f?(x)?0, ? f(x)为I上的常值函数. 证明： 任取两点 x1,x2?I（设x1?x2），在区间 [x1,x2] 上应用拉格朗日中值定理，存在 ξ?（x1,x2）?I，使得 f(x2)?f(x1)?f?(?)(x2?x1)?0 推论2 函数f(x)和g(x)在区间I上可导且f?(x)?g?(x), ? f(x)?g(x)?c, x?I. 推论3（导数极限定理）设函数f在点x0的某邻域U（x0）内连续，在U°（x0）内可导，且极限limf?(x)存在，则f在点x0可导，且 x?x0f?(x0)?limf?(x) x?x0证明：分别按左右导数来证明上式成立 （1） 任取x?u0?(x0)，f(x)在[xo,x]上满足拉格朗日中值定理条件，则存在 ξ?(xo,x)，使得 f(x)?f(x0)x?x0?f?(?) ??由于x0＜ξ＜x，因此当x?x0时随之有ξ→x0，对上式两边取极限，使得 f??(x0)?lim?x?x0f(x)?f(x0)?lim?f?(?)?f?(x0?0) x?x0x?x0（2）同理可得f?(x0)?f?(x0?0) ?(x0)?f??(x0)?k因为limf?(x)=k存在，所以f?(x0?0)=f?(x0?0)=k，从而f?x?x0即f?(x0)?k 注1°由推论3可知：在区间I上的导函数f?(x)在I上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。 注2°导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。 推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数f在闭区间[a,b]上可导, 且f??(a)f??(b)?0, ? ???(a,b), ? f?(?)?0. ( 证 ) 一． 1． 可微函数单调性判别法： 单调性判法： Th 1 设函数f(x)在区间(a,b)内可导. 则在(a,b)内f(x)↗(或↘) ?在(a,b)内 f?(x)?0 ( 或?0 ). 证明：必要性 f(x)?f(x0)?0?x?x0f?(x0)?0 充分性 f(x2)?f(x1)?f?(?)(x2?x1)?0?f 在I 上递增。 例 设 f(x)?x3?x 讨论它的单调区间。 解 f?(x)?3x2?1?(3x?1)(3x?1) x=-1:0.01:1; y=x.^3-x; g=3*x.^2-1; plot(x,y,'r',x,g,'b') axis([-1,1,-1,0.6]) 0.6 0.40.2 0 -0.2 -0.4 -0.8-0.6-0.8 -0.6-1-1 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x?(??,?13),f?(x)?0,f(x)?,
数学分析 微分中值定理及其应用 教案
