第六章 微分中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理 和函数的单调性 一 罗尔定理与拉格朗日定理 二 函数单调性 §2 柯西中值定理和不等式极限 一 柯西中值定理 二 不定式极限 §3 泰勒公式 §4 函数的极值与最大（小）值 一 极值判别 二 最大值与最小值 §5函数的凸凹型与拐点 §6函数图像的讨论 §7方程近似解 § 1 拉格朗日定理和函数的单调性 教学目标： 1°使学生深刻理解拉格朗日中值定理及其分析意义与几何意义。掌握它的证明方法，了解它在微分中值定理中的地位。 2°通过知识学习，使学生初步具有应用中值定理进行分析论证的能力，能用以证明某些有关的命题，特别是掌握通过构造辅助函数解决问题的办法。 3°使学生学会应用拉格朗日中值定理研究函数在某区间上的某些整体性质，如单调性，有界性等。 4°使学生掌握拉格朗日中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础。 一 罗尔定理与拉格朗日定理 数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具之一就是微分中值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。 一． 极值概念： 1． 回忆极值的概念和可微极值点的必要条件: 定理 ( Fermat ) 设函数f在点x0的某 邻域内有定义，且在点x0可导，若点x0为f 的极值点，则必有 f?(x0)?0 1、 罗尔中值定理：若函数f满足如下 条件： （i）f在闭区间[a，b]上连续； （ii）f在开区间（a，b）内可导； oyCy?f(x)?1?2x （iii）f(a)?f(b)， 则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 f?（ξ）=0 （分析）由条件（i）知f在[a，b]上 有最大值和最小值，再由条件（ii）及（iii），应用费马定理便可得到结论。 证明：因为f在［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论： (i)若M = m , 则 f在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立。 (ii)若m ＜ M，则因 f(a)=f(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f的极值点，由条件(ii) f在点ξ处可导，故由费马定理推知 f?(?)=0. 注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高 度相等，则至少存在一条水平切线。 注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立，见下图： ?xx,|x|?1??例如： F(x)??0,?2?x??1 ???1,1?x?2x1=-2:-0.09; x2=-1; x3=-0.99:0.01:1; x4=1:2; x=[x1,x2,x3,x4];y1=0*x1;y2=NaN;y3=x3.^x3;y4=ones(size(x4)); y=[y1,y2,y3,y4]; plot(x,y,'r') axis([-2,2,-1.2,1.3])
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