第四节 全微分及其应用
一元函数y?f(x)在x处可微的本质是:可用x处自变量的增量?x的线性函数A?x近似地描述函数值增量?y,从而可简化?y的计算.我们自然要问:给定二元函数
z?f?x,y?,当x,y有改变量?x,?y时,相应的函数值的改变量?z与?x,?y有何关系?
可否用?x,?y的线性函数A?x?B?y来近似代替?z?
一、全微分
1. 全微分的定义
对于一元函数y?f(x),当自变量在点x处有增量?x时,若函数的增量?y可表示为
?y?A??x?o(?x),其中,A与?x无关而仅与x有关,当?x?0时,o(?x)是比?x高阶
的无穷小量.则称函数y?f(x)在点x可微,并把A?x叫做y?f(x)在点x的微分,记作
dy,即dy?A?x.类似的,我们给出二元函数全微分的定义.
定义 如果二元函数z?f(x,y)在点P?x,y?的某一个邻域U(P)内有定义,相应于自变量的增量?x,?y,函数的增量为?z?f(x??x,y??y)?f(x,y).称?z为函数
f(x,y)在点P(x,y)处的全增量.若全增量?z可表示为:
?z?A?x?B?y?o(?) (6.4.1) 其中A,B仅与x,y有关,而与?x,?y无关,??(?x)2?(?y)2,则称函数z?f(x,y)在点P(x,y)可微.并称A?x?B?y为f(x,y)在点P(x,y)的全微分,记作dz或df(x,y),即:
dz?A?x?B?y. (6.4.2) [说明]
(1) 当??0时,o(?)是比?高阶的无穷小量,即:
limo?????0????x,?y???0,0?limo(?x)2?(?y)2(?x)2?(?y)2???0;
(2) 习惯上,自变量的增量?x与?y常写成dx与dy(类似于一元函数的情形可证明其相等性,请读者自行完成),并分别称为自变量x,y的微分.这样,函数z?f?x,y?的全微分也可写为:
dz?Adx?Bdy
(3) 如果函数在区域D内的各点都可微,则称函数在区域D内可微,或称函数为D内的可微函数.
例1 求证函数z?x?y在?x0,y0?处可微,并求其全微分.
22解 因为?x0,y0?处函数的全增量为:
?z??x0??x???y0??y??x0?y0?2x0?x?2y0?y???x????y?,
222222??且
??x,?y???0,0?lim(?x)2?(?y)2(?x)2?(?y)222???x,?y???0,0?lim(?x)2?(?y)2?0.
所以,根据可微的定义知,函数z?x?y在?x0,y0?处可微,且其全微分为:
dz?2x0?x?2y0?y?2x0dx?2y0dy.
2. 全微分与偏导数、连续的关系
(1) 可微必连续
在第三节中我们指出,多元函数即使可偏导(即各个偏导数存在),也不能保证函数是连续的.然而,从全微分的定义知,如果函数z?f(x,y)在点P(x,y)可微,则函数在该点必定连续.事实上,由于此时
??x,?y???0,0?lim?z?0,也就是
??x,?y???0,0?lim?f(x??x,y??y)?f(x,y)??0,
即
??x,?y???0,0?limf(x??x,y??y)?f(x,y).从而z?f(x,y)在点P(x,y)处连续.
在一元函数中,可导与可微是等价的,那么对二元函数,可微与可偏导存在之间有什么关系呢?下面的两个定理回答了这个问题.
(2) 可微必可偏导
定理1(可微的必要条件) 若函数z?f(x,y)在点P(x,y)可微,则函数在点P(x,y)的两个偏导数
?z?z,都存在(即函数z?f(x,y)在点P(x,y)可偏导),且 ?x?y?z?z?z?z?x??y??dx?dy. (6.4.3) ?x?y?x?y dz?证明 因z?f(x,y)在点P(x,y)可微,所以对于P(x,y)的某一邻域U?P?内的任意一点(x??x,y??y),都有f(x??x,y??y)?f(x,y)?A?x?B?y?o(?).特别地,当?y?0时,??|?x|且f(x??x,y)?f(x,y)?A?x?o(|?x|),两边同除以?x,取极限得
?zf(x??x,y)?f(x,y)o(|?x|)?lim?lim(A?)?A,
?x?0?x?x?0?x?x同理
?z?z?z?x??y. ?B,所以 dz??x?y?y然而,两个偏导数存在是二元函数可微的必要条件,而不是充分条件.例如
xy22,x?y?0;22f(x,y)?x?y0,x2?y2?0.在原点(0,0)处有fx?(0,0)?0,fy?(0,0)?0(即可偏导),但是由第二节例8可知,该函数在原点(0,0)是不连续的,因此函数在原点(0,0)不可微.
但是,可以证明,如果函数的各个偏导数存在且连续,则该函数必是可微的.
定理2(可微的充分条件) 如果函数z?f(x,y)的两个偏导数fx?(x,y),fy?(x,y)在点
P(x,y)的某一邻域内存在且在该点连续,则函数在该点可微.
由上述结论可知:二元函数的可微、可偏导及连续之间的关系为
?连续 偏导数存在(可偏导)且连续?可微???偏导数存在(可偏导)一般情况下,上述关系是不可逆的. 3. 全微分公式及其计算
由定理1知，二元函数z?f(x,y)的全微分可以写成: dz?df(x,y)?称上式为全微分公式.
全微分公式很容易推广到二元以上的函数的情形.例如,如果三元函数u?f?x,y,z?可微分,那么它的全微分公式为:
?z?zdx?dy?fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy. (6.4.4) ?x?ydu??u?u?udx?dy?dz?fx?(x,y,z)dx?fy?(x,y,z)dy?fz?(x,y,z)dz (6.4.5) ?x?y?z 由此可见,在函数可微的条件下,要求函数的全微分,只需先求出其偏导数,再代入全微
分公式进行组装即可得到.
例2 求函数z?xy?y的全微分. 解 因为
22?z?z?2xy,?x2?2y,所以dz?2xydx?(x2?2y)dy. ?x?y23 例3 求函数f(x,y)?xy在点(2,?1)处的全微分.
解 因为 fx?(x,y)?2xy3,fy?(x,y)?3x2y2,所以fx?(2,?1)??4,fy?(2,?1)?12.由于两个偏导数是连续的,故
df(2,?1)??4dx?12dy.
例4 求函数u?x?cosyz?arctan的全微分. 2y解 因为
?u?u1yz?uy?1,?sin?2,?.所以 ?x?y22y?z2?zy2?z21yzzdu?dx?(sin?2)dy?dz. 22222y?zy?z
二、全微分在近似计算中的应用
二元函数的全微分也可用来做近似计算.若二元函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)可微,则有
?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)
???fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?o(?),其中??(?x)2?(?y)2.故当|?x|,|?y|充分小时,有
?z?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?y?dz, (6.4.6) 即
f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?y.
移项得
f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?y (6.4.7) 公式（6.4.6）可用来计算函数的增量的近似值,公式（6.4.7）可用来计算函数的近似值.
例5 计算1.023?1.973的近似值.
解 设函数f(x,y)?x3?y3,所计算的值可看作是函数在x?1.02,y?1.97处
的函数值.取x0?1,?x?0.02,y0?2,?y??0.03.则
fx?(x,y)?3x22x?y33,fy?(x,y)?3y22x?y33.
1,fy?(1,2)?2,所以 211.023?1.973?3??0.02?2?(?0.03)?2.95.
2例6 有一圆柱体，受压后发生形变，它的半径由20厘米增大到20.05厘米,高度由100厘米减少到99厘米,求此圆柱体体积变化的近似值.
而f(x0,y0)?f(1,2)?3,fx?(1,2)?解 设圆柱体的半径,高和体积分别为r,h,V,则V??rh.记r,h,V的增量依次为
2?r,?h,?V,且r?20,h?100,?r?0.05,?h??1,由公式(6.4.6)得
?V??V?V?r??h?2?rh?r??r2?h?r?h
?2??20?100?0.05???202?(?1)??200?.即此圆柱体在受压后体积约减少了200?立方厘米.
习 题 6-4
1. 求下列函数的全微分: (1) z?ln?y?x2?y2; (2) z?3xe?y?2x?ln5; (3) u???.
?x?2y21z 2. 求函数z?xe?ysinx在点??,0?处的全微分. 3. 求函数z?e 4. 计算?1.04?xy当x?1,y?1,?x?0.15,?y?0.1时的全微分.
2.02的近似值.
5. 设生产两种产品A,B的产量分别为x,y时的联合总成本函数为:
C?x,y??15?x2?2xy?3y2.
求当产量分别为50,40时,产量再分别增加2个单位,联合总成本的增加量.
全微分及其应用
