2024年中考数学二轮复习压轴专题：
《四边形》
1．【习题再现】
课本中有这样一道题目：
如图1，在四边形ABCD中，E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，AD＝BC．求证：∠EFM＝∠FEM．（不用证明） 【习题变式】
（1）如图2，在“习题再现”的条件下，延长AD，BC，EF，AD与EF交于点N，BC与EF交于点P．求证：∠ANE＝∠BPE．
（2）如图3，在△ABC中，AC＞AB，点D在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，交BA的延长线于点G，连接GD，∠EFC＝60°．求证：∠AGD＝90°．
【习题变式】
解：（1）∵F，M分别是CD，BD的中点， ∴MF∥BP，∴∠MFE＝∠BPE．
∵E，M分别是AB，BD的中点， ∴ME∥AN，∴∠MEF＝∠ANE． ∵AD＝BC， ∴ME＝MF， ∴∠EFM＝∠FEM，
， ，
∴∠ANE＝∠BPE．
（2）连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH．
∵H，F分别是BD和AD的中点， ∴HF∥BG，∴∠HFE＝∠FGA．
∵H，E分别是BD，BC的中点， ∴HE∥AC，
， ，
∴∠HEF＝∠EFC＝60°． ∵AB＝CD， ∴HE＝HF，
∴∠HFE＝∠EFC＝60°， ∴∠AGF＝60°， ∵∠AFG＝∠EFC＝60°， ∴△AFG为等边三角形． ∴AF＝GF， ∵AF＝FD， ∴GF＝FD，
∴∠FGD＝∠FDG＝30°， ∴∠AGD＝60°+30°＝90°．
2．（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，
C重合），连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的
数量关系是 BD＝CE ，位置关系是 BD⊥CE ．
（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD2、CD2、DE2
之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，请直接写出线段AD的长．
解：（1）问题：在Rt△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）， 故答案为：BD＝CE，BD⊥CE； （2）探索：结论：DE2＝BD2+CD2， 理由是：如图2中，连接EC．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ∵
，
∵△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°， ∴DE2＝CE2+CD2， ∴DE2＝BD2+CD2；
（3）拓展：如图3，将AD绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、DG，
则△DAG是等腰直角三角形， ∴∠ADG＝45°， ∵∠ADC＝45°， ∴∠GDC＝90°， 同理得：△BAD≌△CAG， ∴CG＝BD＝3， Rt△CGD中，∵CD＝1， ∴DG＝
＝
＝2
，
∵△DAG是等腰直角三角形， ∴AD＝AG＝2．
3．如图1，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG． （1）BE和DG的数量关系是 BE＝DG ，BE和DG的位置关系是 BE⊥DG ； （2）把正方形ECGF绕点C旋转，如图2，（1）中的结论是否还成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）设正方形ABCD的边长为4，正方形ECGF的边长为3过程中，若A、C、E三点共线，直接写出DG的长．
，正方形ECGF绕点C旋转
解：（1）BE＝DG．BE⊥DG；理由如下： ∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形， ∴CD＝BC，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG＝90°，在△BEC和△DGC中，，
∴△BEC≌△DGC（SAS）， ∴BE＝DG；
如图1，延长GD交BE于点H，
∵△BEC≌△DGC， ∴∠DGC＝∠BEC，
∴∠DGC+∠EBC＝∠BEC+∠EBC＝90°， ∴∠BHG＝90°， 即BE⊥DG；
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG． （2）成立，理由如下：如图2所示：
2024年中考数学二轮复习压轴专题：四边形(解析版)
