青岛二中 2018-2019 学年第二学段模块考试
高三数学（文科）试题
命题人：高三数学备课组
满分：150 分 时间：120 分钟
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合 M ? {0,1,2} ， N ? {x | x 2
? 3x ? 0} ，则下列结论正确的是(
)
A． N ? M
B． M ? N ? R M ? N ? {1, 2}
C． M ? N
D．
2.复数 1 ? i 对应的点位于(
)
1 ? 2i
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3.已知程序框图表达如右图所示，若输入 x ? 0 ，则输出的 x 值为（
）
A． ? 3 B． ? 7 C． ? 15 D． ? 31
4.容量为 100 的样本，其数据分布在 ，将样本数据分为 4 组： ? ，? ?
? ， ，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（
）
A．样本数据分布在 ? ? 的频率为 0.32
B．样本数据分布在 ? 的频数为 40
C．样本数据分布在 ? 的频数为 40
D．估计总体数据大约有 10%分布在
?
5. 已知命题 p : ?x ? 4, log ? 3 2x ? 2 ；命题 q : 在 ?ABC 中，若 A ? ，则 sinA ? ．则下列命题为真
3 2 命题的是（
）
A． p ? ??q ??
B． p ? q
C． ??p ? ? ??q ??
D． ??p ? ? q
6.等差数列{an } 中， a1 ? a4 ? a7 ? 39 ， a3 ? a6 ? a9 ? 27 ，则{an } 的前 9 项的和 S9 = (
)
A．66
B．99 C．144 D．297
7.设?、 ?是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题： ①若 l ? ?，? ? ? ，则 l ? ?；
②若 l //?，?//?，则 l ? ?；
③若 l ? ?，?//?，则 l ? ?； ④若 l //?，? ? ? ，则 l ? ?；其中正确命题的个数是（
）
A. 3
B. 2
C.1
D. 0
设向量 a? , b 满足| a |? 2 ，| b |?| a ? ? b |? 3 ，则| a ??8.? 2b |? （
）
A．6
B．3 C．10
D．
9.过点 (2,?2) 且与双曲线 x2 2 ? y 2 ? 1 有共同渐近线的双曲线方程是（
）
2
2
2 2
2 2
A． x ? y ? 1
4 B． y ? x 2
? 1
C． x ? y 4 2
? 1
D． y 2 2 2 4
? x 4
? 1
2 10．一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点 P 在正视图
上的对应点为 P ，点 A, B, C 在俯视图上的对应点为 A, B, C ，过直线
AP 作一平面与直线 BC 平行，则该平面截几何体所得截面多边形的
周长为( ) A．3 + 3 B．3 + 3C．
+
3 D．
+
3
??
)(?? 0) 的图象的相邻最高点间的距离为?，设 f ( x) 的图象向左平 4
????移 个单位后得到 g ( x) 的图象，则函数 g ( x) 在[0, ] 上的值域为（ ） 4 2 A．[ 2 B．[? 2 , 2 ] C．[?2,2] D．[??2 ,2] ,2]
11．已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ??
12.已知定义在 R 上的函数 f ? x? 的导函数为 f ' ? x ? ，且 f ? x ? ? f ' ? x ? ? 1 ， f ?1? ? 0 ，则不等式
18．（本小题满分 12 分）
2015 年 7 月 31 日，北京张家口成功申办 2022 年冬奥会。“3 亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪
这个冷项目迅速炒“热”．青岛二中计划在高一年级开设冰球选修课程，为了解学生对冰球运动的兴
趣，随机从高一年级学生中抽取了 100 人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占 ，而男生有 10 人表示对冰球运动没有兴趣．
2
3
f ? x ? ? 1 ??1ex ?1? 0 的解集是（ ）
A． ???,1??
B． ???, 0??
C．?0, ?? ??
D．?1, ??
??
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上）
13.已知直线 l1 : mx ? 3 y ? 6 ? 0 ， l
2 : 4 x ? 3my ? 12 ? 0 ，若 l1 // l2 ，则 m 的值为
.
14.已知 sin(?? ? 4??2
) 3
，则 sin 2? ? ? . 15.设实数 x, y 满足约束条件 ???? 2 x ? y ? 1 ? 0 x+y ? 0 ，则 z ? x ? y 的最小值为 ．
???
x ? 0
16.在 ?ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，且 2sinCcosB ? 2sinA ? sinB, c ? 3ab ，则 ab 的
最小值是
.
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必考题：60 分．
17．（本小题满分 12 分）
已知等差数列?a2 n ?的公差 d ? 0 ，且 a3 , a5 是方程 x ? 14 x ? 45 ? 0 的两根，
(Ⅰ)求数列?an ?通项公式；
(Ⅱ)设 bn ??2 ，数列aa{bn } 的前 n 项和为 Sn ,证明： Sn ? 1 ．
n n ?1
( Ⅰ)完成下列
列联表，并根据列联表判断是否有 ??的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有
关”？
有兴趣 没兴趣 合计 男 55 女 合计 100 (Ⅱ)已知在被调查的女生中有 5 名外语 MT 的学生，其中 3 名对冰球有兴趣，现在从这 5 名学生中随机
抽取 2 人，求 2 人都对冰球有兴趣的概率． 附表：
?0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 ?2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 ?
+ + ? + + ?
19．（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P ? ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， ?ABC ? 90? ，
BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 ， PB ? PC, PD ? 2 .
(Ⅰ)求证：平面 PBC ? 平面 ABCD ； (Ⅱ)若 PC ? PB ,求点 D 到平面 PAB 的距离.
20．（本小题满分 12 分）
2
2
已知椭圆 C : x a2 ? y b2? 1(a ? b ? 0) 过点 ( 3 , 1 ) ，离心率为 6 .
2 2 3
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）若直线试探究 + y ? k (x ? 1) 与椭圆 交于 ? 两点，且 3 ，设 ? 分别是直线 的斜率，? 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
?21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ? b 在
x ? 1处取得极值．
x
(Ⅰ)若 a ? 1 ，求函数 f ( x) 的单调区间；
(Ⅱ)若 a ? 3 ，函数 g ( x) ? a 2 x 2 ? 3 ，若存在 m 1 ，1 m 2 ?[ 2 , 2] ，使得 f (m 1 ) ? g (m 2) ? 9 成立，求 a
的取值范围．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4–4：坐标系与参数方程]（10 分）
?? x ? ?1 ? 2 t
在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线 l 的 参 数 方 程 为
??? 2 ( t 为 参 数 ) ， 圆 C 的 方 程 为 ? y ? 1 ? 2 2
t
? x ? 2 ?2 ? ? y ? 1?2
? 5 .以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求圆 C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求 cos ?AOB 的值.
23．[选修 4–5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 f ?
x ? ? 1
3 x ? a ? a ? R ? ．
（Ⅰ）当 a ? 2 时，解不等式 x ? 1 3 ? f ? x ? ? 1 ；
（Ⅱ）设不等式 x ? 1 ? 1 1 ?
3 ? f ? x ? ? x 的解集为 M ，若 ?? 3 , 2 ???
? M ，求实数
a 的取值范围．
青岛二中 2018-2019 学年第二学段模块考试
因为 ，
高三数学（文科）试题(参考答案)
一、选择题
所以有 90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．
(2)记 5 人中对冰球有兴趣的 3 人为 A、B、C，对冰球没有兴趣的 2 人为 m、n， 则从这 5 人中随机抽取 2 人，所有可能的情况为：（A,B）,（A,C）,（A,m）,（A,n）,
1-5DBCDA
二、填空题
6-10BCDDA 11-12DA
（B,C）,（B,m）,（B,n）,（C,m）,（C,n）,（m,n），共 10 种情况，
其中 2 人都对冰球有兴趣的情况有（A,B）,（A,C），（B,C），共 3 种，
13. ?2 14. ? 19
15. ?1
16. 1
3
三、解答题
17.【答案】（1） an ? 1 (n ? N ? ) （2）略
n ? 2
1）由题意 ?a?3 ? a5 ? 14 ?a3 ? 5 9 ?* ??
a又 d>0，? ??? d ???5 解：（ 3 ? a5 ? 45 ?a5 ? 9 5 ? 3 ? 2 ? an ? 2n ? 1(n ? N )（2）? bn ??2 2 1 ?1 a? a? ???
n n ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1
? s 1 1 1 1 1 1 1 1
n
? (1 ? 3 ) ? (3 ? 5 ) ? ( 5 ? 7 ) ? ?? ? ( 2n ? 1 ? 2n ? 1) ? 1 ? 2n ? 1
? 1 18.【答案】（1）有（2） 3
10
（1）根据已知数据得到如下列联表
有兴趣 没有兴趣 合计 男 45 10 55
女 30 15 45
合计 75 25 100
由列联表中的数据可得
因此，所求概率为 3 10
。
19 解：（Ⅰ）证明：取 BC 中点 M ，连接 DM , PM 可知 MD ? AB ? 1 且 MD ? BC
又? PB ? PC, BC ? 2 ,? 在 Rt?PBC 有 PM ? 1
又? PD ??2 ，? PD2 ? PM 2 ? MD2 ,
即 MD ? PM
又? MD ? BC, PM ? BC ? M , PM ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC
? MD ? 平面 PBC ， 又? MD ? 平面 ABCD ? 平面 PBC ? 平面 ABCD （Ⅱ）设点 D 到平面 PAB 的距离为 h
? PC ? PB, PC ? PB ,
? PM ? BC 又? 平面 PBC ? 平面 ABCD ， 且平面 PBC ? 平面 ABCD ? BC ? PM ? 面 ABCD
?V1
P ? ABD ? 3 | PM | S ?ABD
? 1 3 ?1? 1 2 ?1?1 ? 16
在 ?PAB 中有 PB ??2 , AB ? 1, PA ? 3 ，
? PB 2 ? AB 2 ? PA2 ,? PB ? AB ? S 2 ?PAB ??2
1 1 2 1 2 VD ? ABP ? S?ABP ? h ? ??? h ? ，? h ??3 3 2 6 2
2
所以点 D 到平面 PAB 的距离为 2
3 1
+ 20 解（1）将 ( , ) 代入椭圆 2 2 又
? 1
（2）当 a ? 3 时， f ( x) 在[ ,1) 上为增函数，在 (1, 2] 为减函数，
2
， + ，解得 3 9 1
? 中，得C : 2? 2? 1(a ? b ? 0) ，
4a 4b
，故椭圆 的标准方程为 + .
所以 f ( x) 的最大值为 f (1) ? 2 ? a ? 0 ．
因为函数 g ( x) 在[ , 2] 上是单调递增函数， 所以 g ( x) 的最小值为 g( ) ? a2 ? 3 ? 0 ．
1
2
12
1 4
3
3
（2）将 代入 3
+
，整理化简，得 3 +
? + 3 直线 与椭圆 交于 ? 两点，设 ，?
，
则 + ? 3 +
，
3 3
3 +
.
又
，
，
3 + 3
所以
+
? 3 + 33 3
? 3 + ? 3 3
+ +
+ +
+ +??3 +
+
3 3
?
?
+
+??
3 + ? 3 + 3 + +3
?
+
3 3 ?
+
故
+ ? 为定值3 + 2.
3 +
21.解：（1） f ?( x) ? 1 ? a b
? x2， 由 f ?(1) ? 0 得 b ? 1 ? a ．
x
（2）函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) ，
）可得 f ?( x) ? 1 ? a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a) (x ?1)[x ? (a ?1)]
由（1x ? x 2 ? x 2 ?
x 2．
令 f ?( x) ? 0 ，则 x1 ? 1， x2 ? a ? 1．
若1 ? a ? 2 时单调递减区间为 (0, a - 1) ， (1,??）;单调递增区间为 (a ? 1,1)
所以 g ( x) ??f ( x) 在[ 1
3
?，
2
, 2] 上恒成立．
要使存在 m1 1 ， m 2 ?[ 2 , 2] ，使得f (m 1 ) ? g (m 2 ) ? 9 成立，只需要 g ( 1
2) ? f (1) ? 9 ，
即 1 a 2
4
? 3 ? (2 ? a) ? 9 ，所以 ? 8 ? a ? 4 ． 又因为 a ? 3 ，所以 a 的取值范围是 a ? (3, 4) ．
? ??x ? 2 22．解：（Ⅰ）由直线 l 的参数方程 ? ???1 ??2 t 得，其普通方程为 y ? x ? 2 ， ????
? y ? 1 ??2 2
t ?sin? ? ?cos? ? 2
∴直线
l 的极坐标方程为 .
又∵圆 C 的方程为 ? x ? 2??2
? ? y ? 1?2
? 5 ，
??? x ? ?cos??将? y ? ?sin??
代入并化简得
? ? 4 cos?? 2 sin? ， ∴圆
C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos?? 2 sin? . （Ⅱ）将直线 l ： ?sin? ? ?cos? ? 2 ，
与圆 C ： ? ? 4 cos?? 2 sin? 联立，得 ?4 cos?? 2 sin?? ?sin?? cos?? ? 2 ，
整理得 sin?cos? ? 3 cos2
? ，∴? ????2
，或 tan? ? 3 . 不妨记点 A 对应的极角为 ?
，点 B 对应的极角为?，且
2 tan?=3 .
于是， cos?AOB ? cos ?? ? ?????
3 10 若
a ? 2 时 无减区间；单调递增区间为2 ? ? sin? ? (0,10 . ??)
山东省青岛第二中学2019届高三上学期第二学段模块（期末）考试数学（文）试题
