.
B．函数y=f（x）在R上有可能是单调函数 C．函数y=f（x）的图象关于点D．函数y=f（x）是R上的偶函数 【考点】函数的周期性．
【分析】题目中条件：f（x+）=﹣f（x）可得f（x+3）=f（x）知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性． 【解答】解：对于A：∵f（x+3）=﹣f（x+）=f（x）∴函数f（x）是周期函数且其周期为3，A对； 对于B：由D得：∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f（x）在R上不是单调函数，B不对． 对于C：∵y=f（x﹣）是奇函数∴其图象关于原点对称，
又∵函数f（x）的图象是由y=f（x﹣）向左平移个单位长度得到， ∴函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，故C对；
对于D：由C知，对于任意的x∈R，都有f（﹣﹣x）=﹣f（﹣+x），用+x换x，可得：f（﹣﹣x）+f（x）=0，
∴f（﹣﹣x）=﹣f（x）=f（x+）对于任意的x∈R都成立， 令t=+x，则f（﹣t）=f（t），∴函数f（x）是偶函数，D对． 故选：B．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
对称
13．若x，y满足约束条件，则的最小值为 ﹣2 ．
【考点】简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，的最小值．
的几何意义是（x，y）与（3，0）连线的斜率，数形结合得到
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
的几何意义是（x，y）与（3，0）连线的斜率
.
.
联立，解得B（1，1），
联立，解得C（2，2）
∴的最小值为=﹣2．
故答案为：﹣2．
14．已知等比数列{an}，满足a1=1，a2016=2，函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），且f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a2016），那么f′（0）= 21008 ． 【考点】导数的运算．
【分析】由题意，设g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a2016），利用导数的运算，得到f'（x），得到所求为g（0）．
【解答】解：由已知，设g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a2016），则f（x）=xg（x）， f'（x）=g（x）+xg'（x），
所以f'（0）=g（0）=（﹣a1）（﹣a2）…（﹣a2016）=a1a2…a2016， 等比数列{an}，满足a1=1，a2016=2，得到a1a2…a2016=（a1a2016）1008=21008； 故答案为：21008．
15．二项式（4x﹣2﹣x）6（x∈R）展开式中的常数项是 15 ． 【考点】二项式定理的应用．
【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=答案．
【解答】解：设二项式（4x﹣2﹣x）6（x∈R）展开式的通项公式为Tr+1，
?（4x）6﹣r?（﹣1）r?（2﹣x）r，令2的指数次幂为0即可求得
.
.
则Tr+1=
?（4x）6﹣r?（﹣1）r?（2﹣x）r
?212x﹣3rx，
=（﹣1）r?
∵x不恒为0，令12x﹣3rx=0， 则r=4．
∴展开式中的常数项是（﹣1）4?故答案为：15．
16．已知函数f（x）=
﹣1的定义域是[a，b]（a，b为整数），值域是[0，1]，请在后面的下划线上
=
=15．
写出所有满足条件的整数数对（a，b） （﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，2），（0，2） ． 【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数的值域先求出满足条件的条件x，结合函数的定义域进行求解即可． 【解答】解：由f（x）=由f（x）=
﹣1=1得
﹣1=0得
=1，得|x|+2=4，即|x|=2，得x=2或﹣2，
=2，得|x|+2=2，即|x|=0，得x=0，
则定义域为可能为[﹣2，0]，[﹣2，1]，[﹣2，2]，[﹣1，2]，[0，2]，
则满足条件的整数数对（a，b）为（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，2），（0，2）， 故答案为：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，2），（0，2），
三、解答题：（本大题8个小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤．） 17．如图，在四边形ABCD中，CB=CA=AD=1，（1）求证：AC⊥CD； （2）求四边形ABCD的面积； （3）求sinB的值．
=﹣1，sin∠BCD=．
.
.
【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；解三角形． 【分析】（1）根据题意可分别求得AC，CD和AB，利用的值，进而求得∠DAC，进而利用余弦定理求得DC的长． 求得BC2+AC2=AB2．判断AC⊥CD，
（2）在直角三角形中求得cos∠ACB的值，利用同角三角函数的基本关系气的sin∠ACB，然后利用三角形面积公式求得三角形ABC和ACD的面积，二者相加即可求得答案．
（3）在△ACB中利用余弦定理求得AB的长，最后利用正弦定理求得sinB的值． 【解答】解：（1）CB=CA=AD=1，∴
?
=|
|?|
=﹣1，
=﹣1，利用向量的数量积的性质求得cos∠DAC
|?cosA=1×2?cos∠CAD=1，
∴cos∠CAD=， ∴∠CAD=
由余弦定理CD2=AC2+AD2﹣2AD?ACcos∠CAD=1+4﹣2×2×=3． ∴CD=
，
∴AD2=AC2+CD2， ∴∠ACD=
．
∴AC⊥CD， （2）由（1）∠ACD=∴sin∠BCD=sin（
，
+∠ACB）=cos∠ACB=．
∵∠ACD∈（0，π），∴sin∠ACB=． ∴S△ACB=×1×1×=． ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=+（3）在△ACB中，
AB2=AC2+BC2﹣2AC?BCcos∠ACB=1+1﹣2×1×1×=．
.
．
.
∴AB=∴∴sinB=
， =
， =
18．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面中，DB=4，∠DAB=∠DCB=90°，∠BDC=∠BDA=60°． （1）求直线AC与平面BB1C1C所成的角正弦值； （2）若异面直线BC1与AC所成的角的余弦值为
，求二面角B﹣A1C1﹣A的正切值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．
【分析】（1）根据直线和平面所成角的定义先作出线面角，根据三角形的边角关系即可求直线AC与平面BB1C1C所成的角正弦值；
（2）根据异面直线BC1与AC所成的角的余弦值为
，先求出直四棱柱高的值，根据二面角平面角的定义
作出二面角的平面角，根据三角形的边角关系即可求二面角B﹣A1C1﹣A的正切值． 【解答】解：（1）∵DB=4，∠DAB=∠DCB=90°，∠BDC=∠BDA=60°． ∴CD=AD=2，BC=AB=2
，AC=2
，
即三角形ABC是正三角形， 则AC⊥BD，
取BC的中点P，则AP⊥BC，AP⊥平面BB1C1C， 则∠ACB是直线AC与平面BB1C1C所成的角， 则∠ACB=60°， 则sin∠ACB=sin60°=
，
.
2024-2024学年广东省汕头市高考数学二模试卷(理科)(有答案)
