学而思初二数学第3讲 一次函数与全等三角形综合 尖子班 教师版

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一次函数与 全等三角形综合

满分晋级阶梯

函数6级 一次函数的应用

函数7级

一次函数与全等三角形综合

函数8级

反比例函数的基本性质

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漫画释义

梦游记

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题型切片

题型切片（两个） 对应题目 例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3； 例5，例6，练习4，练习5． 题型目标一次函数与全等三角形的综合 一次函数与面积综合 这类题目上，解题方法无外乎以下几种：⑴数形结合，利用三角形的三边关系求解；⑵由函数到图形得全等，边角关系求解；⑶由图形，或函数关系得到所探究题目的隐藏条件，再充分运用所学几何知识得解（一般这种探究题是比较活的，对运用考察较强）；⑷以结论证条件，以条件猜结论．题型二的面积问题重点应落在铅垂线法求解三角形面积，这种方法与平面直角坐标系有天然的联系，在一次函数部分考查方式较灵活，也较多，需熟练掌握．

本讲的最后一道例题是2013年西城的期末考试题，考查了一次函数的图象和性质，与等腰三角形作法的结合，根据直线位置分类讨论求解图形面积，综合性较强，难度中上，不失为全面

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编写思路

本讲内容主要分为两个题型，题型一主要是一次函数与全等三角形几个经典模型的综合，在

考查和总结一次函数部分的一道好题．

题型一：一次函数与全等三角形综合

思路导航

几种全等模型的回顾：

AEAAEDCBDCBECFCBBAAEFBFDEC图1 图2 图3 图4 图5 图1、图2为“两垂直”全等模型，图1中将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，此时可得结论：△ACD，△BCE均为等腰直角三角形；DE?AB.图2中△ABC≌△DBE 图3、图4为“三垂直”全等模型，其中△ABC为等腰直角三角形，AE?EC，BF?CF，E，C，F三点共线，则有△ACE≌△CBF，图3中EF?AE?BF，图4中EF?AE?BF 图5中，AB?AC，延长AB到F使得BF?EC，则有结论ED?DF，若ED?DF，则有BF?EC

例题精讲

【引例】 平面直角坐标系内有两点A?4，0?和B?0，4?，点P在直线AB上运动．

⑴ 若P点横坐标为xP??2，求以直线OP为图象的函数解析式（直接写出结论）；

⑵ 若点P在第四象限，作BM?直线OP于M，AN?直线OP于N，求证：

MN?BM?AN； ⑶ 若点P在第一象限，仍作直线OP的垂线段BM、AN，试探究线段MN、BM、AN所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明．

（实验中学单元测试）

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【解析】 ⑴ 设直线AB函数解析式为y?kx?b

?0?4k?b?k??1?? y??x?4 ?4?bb?4??当x为?2时，y?6，∴P的坐标为??2，6? ∵直线OP过原点，∴解析式为y??3x

⑵ 如图1，由题意可证Rt△BMO≌Rt△ONA ∴BM?ON，AN?MO，∴MN?BM?AN

⑶ 如图2，证明Rt△BMO≌Rt△ONA 可得结论MN?BM?AN

yByBAyBPMNAxNOMPMONxPOAx图1 图图22

典题精练

【例1】 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A?0，4?，点B，C在x轴

上，作BE?AC，垂足为E（点E在线段AC上，且点E与点A不重合），直线BE与y轴交于点D，若BD?AC． ⑴ 求点B的坐标；

⑵ 设OC长为m，△BOD的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．

【解析】 ⑴ 如图，由△BOD≌△AOC可知BO?AO?4

∴B点坐标为??4，0?

⑵ 由⑴可知DO?OC?m，

1∴S??4?m，S?2m，m的取值范围是0?m?4

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yA(0,4)DBOECx

【例2】 已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为

yA?4，0?，B?0，?4?，P为y轴上B点下方一点，PB?m?m?0?，以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM?PA，点M落在第四象限．

⑴ 求直线AB的解析式；

⑵ 用m的代数式表示点M的坐标；

⑶ 若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化

（西城期末） 而变化，写出你的结论并说明理由．

【解析】 ⑴ y?x?4

⑵ 作MC?y轴，交y轴于C，

AP?PM???MPC?90???APO??OAP??△APO≌△PMC ?PMC?90???MPC??APO??MAQOBPx由此可知M?4?m，?m?8? ⑶ 由⑵中的全等可知

MC?m?4，BC?m?4，∴MC?BC ?CBM?45?，可得QO?OB

Q??4,0? ∴Q点坐标不随m的变化而变化.

【点评】 此题最关键一步是如何利用线段长表示点坐标，学生极易在此犯错！要记住线段长为正，

而点坐标要根据其所在象限判断正负.

【例3】 如图1，直线l1:y?3x?3与x轴交于B点，与直线l2交于y轴上一点A，且l2与x轴的

交点为C?1，0?．

⑴ 求证：?ABC??ACB

⑵ 如图2，过x轴上一点D??3，0?，作DE?AC于E，DE交y轴于F点，交AB于G点，求G点的坐标； ⑶ 如图3，将△ABC沿x轴向左平移，AC边与y轴交于点P（P不同于A和C两点），

过P 点作一直线与AB的延长线交于Q点，与x轴交于点M，且CP=BQ.在△ABC平移的过程中，线段OM的长度是否发生变化？若不变，请求出它的长度．若变化，确定其变化范围．

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