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2024最热高二数学竞赛班一试讲义
第七讲 复数与单位根
班级 姓名
一、知识要点：
1．复数模、共轭
复数模运算符合乘除运算，模的加减符合三角不等式z1?z2?z1?z2?z1?z2 模与共轭的联系zz?z 2．复数的几何（向量）意义
2OZ
z?x?yi在复平面上对应点Z(x,y)，也对应着向量
复数z满足z?a?z?b，轨迹表示复数a,b对应的点A,B组成的线段的中垂线
复数z满足z?z0?r，轨迹表示以z0为圆心，r为半径的圆
复数z满足z?a??z?b,??1,??R，轨迹表示圆（阿波罗尼斯圆） 3．复数的三角形式z?r(cos??isin?),r?0，
?是复数的辐角，??[0,2?)时称为复数的辐角主值
运算法则：z1?r1(cos?1?isin?1),r1?0，z2?r2(cos?2?isin?2),r2?0 乘法z1z2?r1r2(cos(?1??2)?isin(?1??2)),r1?0 除法
?z1r1?(cos(?1??2)?isin(?1??2)),r1?0 z2r2nn 乘方z?r(cosn??isinn?),r?0 开方z?r(cos??isin?),r?0，
2k???2k????isin),k?0,1,2,...,n?1 nn2?i2?2?n?isin4．单位根：记??en?cos，其中i为虚数单位，多项式x?1有n个互不 nn2n 相等的根?,?,???,?(?1)，它们称为n次单位根。易于看到，在复平面上，n个n次
z有n个n次方根：zk?nr(cos 单位根对应的点恰是单位圆的内接正n边形的顶点。 5．n次单位根的性质：
（1）设k和l是整数，则?k??l的充分必要条件是k?l(modn)
（2）任意两个n次单位根的乘积仍是一个n次单位根；任意一个n次单位根的倒数也是一 个n次单位根。
（3）设k是整数，(k,n)?1，则(?)(l?1,2,???,n)恰给出全体n次单位根。 证明：因为(k,n)?1，所以k,2k,???,nk是模n的一个完系
2nnn?1n6．因?,?,???,?(?1)是x?1的n个不同的根，故有x?1?(x?1)(x??)???(x??)，
kl 又x?1?(x?1)(x （1）xn?12nn?1?xn?2?????x2?x?1)，所以
n?1?xn?2?????x2?x?1?(x??)(x??2)???(x??n?1)
?0
2 （2）1??????????37．x?1?0的根为x?1,?,?，（可设???13，有 ?i）
2212（1）1?????0，（2）?3n?1,?3n?1??,?3n?2??2，（3）
???2,?2????1
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二、例题精析
155i?cos??sin?，则z= ． z22BC?CA?AB（2）（13北约6）模长都为1的复数A,B,C满足A?B?C?0,则?( )
A?B?C1A. ? B. 1 C. 2 D. 无法确定
2例2．（2006年上海交大）已知z?1，k是实数，z是复数，求z2?kz?1的最大值。
例1．（1） z为模大于1的复数，z?例3．若关于x的二次方程x?2x?2?0，x?2mx?1?0的解在复平面上对应的四个不 同的点共圆，求实数m的取值范围。
例4．设M是单位圆x?y?1上的动点，点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等边三角 形的顶点，并且M→N→A→M成逆时针方向，当M点移动时，求点N的轨迹。 例5．已知单位圆的内接正n边形A1,???,An及圆周上一点P，求证：例6．设n是正整数，证明：
2222?PAk?2n。
k?1n21nn?(2?2cos) 331(n?2)?14710 （2）S1?Cn?Cn?Cn?Cn?????(2n?2cos)
331(n?4)?25811 （3）S2?Cn?Cn?Cn?Cn?????(2n?2cos)
33?2?(n?1)?例7．(2011年清华金秋营)求sinsin的值。 ?sin
nnn0369 （1）S0?Cn?Cn?Cn?Cn?????三、精选习题
1．（13华约5）若复数
w?11的实部为0，Z是复平面上对应的点，则点Z?x,y?的轨 w?11?w2 迹是（ ）
(A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧
2．关于x(x?C)的一元二次方程x?x?m?1?0有一根模长为1，则m=___________
??n?1?________，其中n是正整数。
z4．已知z1?2,z2?3,z1?z2?4，则1?________。
z211i)n为纯虚数，并求出I． 5．（2006年清华）求最小正整数n，使得I?(?223x2y2??1上任意一点，以OP为边长作矩形OPQR（字母顺序按逆时针 6．设P为椭圆94 方向），使OR?2OP，求动点R的轨迹．
3．若虚数?满足?3?1，则?2nz2?2z?27．（2011年卓越）i为虚数单位，设复数z满足z?1，求的最大值。
z?1?iz408．复平面内区域A由复数z对应的点Z组成，若与的实部与虚部都在0与1之间，
40z求区域A的面积。
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2?i56?i59．(2013北大）求2?2e?e的值。
10．若复数z满足z?1，且存在负数a，使得z2?2az?a2?a?0，求a的值。
n1n?1n?)。 11．证明：C?C?C?????(2?22cos240n4n8n高二数学竞赛班一试讲义
第七讲 复数与单位根
zz?1z?155i例1．（1）【解】???cos??sin?
zz222z?155i5两边取模??cos??sin??
z22215得z?(舍去)或2，故z?=2(cos??isin?)
55i2cos??sin?222（2）【解】方法一：zz?z
由题知AA?BB?CC?1,所以
2BC?AC?ABBC?AC?ABBC?AC?AB, ??A?B?CA?B?CA?B?CBC?AC?ABBC?AC?ABBC?AC?AB也即 ??A?B?CA?B?CA?B?C3?BA?CA?AB?CB?AC?BC?1,故选B. ?3?AB?AC?BA?BC?CA?CB111方法二：由题知AA?BB?CC?1,所以A?，B?，C? ABC12例2．【解】z?kz?1?zz?k??z?z?k?2Re(z)?k?k?2Re(z)?k?2 z?1,k?0且当z??时取等 A?1,k?0?2例3．【解】x?2x?2?0的解是x?1?i， 易知圆心在x轴上 21）??0?m?1?0时， CODx2?2mx?1?0的解为两个实根时， 易知圆心为(?m,0) 2）??0?m?1?0时， 222CABx2?2mx?1?0的解为两个虚根时， AC中垂线交x轴于一点，即为圆心 3故?1?m?1，综上所述：m?{?}(?1,1) 2例4．AM?(cos300?isin300)?ANODB 2222整理得x?y?2x?23y?3?0 即(x?1)?(y?3)?1 1word版本可编辑.欢迎下载支持. 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.
2?2?2n?1?isin，A1,???,An对应的复数是1,?,?,???,?。又nn设P对应的复数为z?ei??cos??isin?，
n01nn例6．在二项展开式(1?x)?Cn?Cnx?????Cnx中，
例5．证明：设??e2?in?cos?S0?S1?S2?2n?132n2 依次取x?1,?,?（设????，则?S0??S1??S2?(1??) i）
22?22nS??S??S?(1??)012?????相加得3S0?2n?(1??)n?(1??2)n?2n?(cos?isin)n?(cos?isin)n
33331n?0369得S0?Cn?Cn?Cn?Cn?????(2n?2cos)
33?S0?S1?S2?2n?2n在?S0??S1??S2?(1??)中从上到下各式分别乘以1,?2,?，求得 ?22n?S0??S1??S2?(1??)从上到下各式分别乘以1,?,?2，求得 例7．解：设??cos?n?isin?n（i为虚数单位）,则1,?,?,??22(n?1)为x2n?1?0的根。
k??k???k?2k?1?2?(n?1)?(?2?1)(?4?1)?(?2(n?1)?1)sin??，sinsin= ?sin1n(n?1)n2i2i?knnn2n?1in?1?2(?1)n?1(?2?1)(?4?1)?(?2(n?1)?1)(1??2)(1??4)?(1??2(n?1))==, n?1n?12n?12(i)2222422(n?1))=x2(n?1)?x2(n?2)??x2?1, 而(x??)(x??)?(x??2．实系数一元二次方程，??0时有两个共轭的虚数根，且根的情况一般要分实数、虚数
讨论。
5?m时，方程有两个实根，其中有一根为1或-1 4 代入得m??1或1
5402) ??0?m?时，方程有两个共轭的虚根，
42由韦达定理zz?m?1?z?1?m?2
【解】1) ??0?综上所述：m??1或2
x2y2??1 6．椭圆
16368．【解】设z?x?yi,x,y?R
由线性规划知图中阴影部分即为区域A
04031?402??202?1200?200? 42n01nn11．在二项展开式(1?x)?Cn?Cnx?????Cnx中， 依次取x?1,?1,i,?i（4次单位根），则
048nnnn相加得4(Cn?Cn?Cn????)?2?(1?1)?(1?i)?(1?i)
故面积为
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n1n?1n?) 所以C?C?C?????(2?22cos240n4n8n1word版本可编辑.欢迎下载支持.
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