Born to win
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设y?(x?e(2)
?x223),则y?x?0?＿＿＿＿＿＿.
?1?1(x?1?x2)2dx?＿＿＿＿＿＿.
(3) 微分方程y???2y??5y?0的通解为＿＿＿＿＿＿.
(4) limx?sinln(1?)?sinln(1?)??＿＿＿＿＿＿.
x??xx(5) 由曲线y?x???31??1,x?2及y?2所围图形的面积S?＿＿＿＿＿＿. x
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
2(1) 设当x?0时,e?(ax?bx?1)是比x高阶的无穷小,则 ( )
x21,b?1 (B) a?1,b?1 21(C) a??,b??1 (D) a??1,b?1
2(A) a?(2) 设函数f(x)在区间(??,?)内有定义,若当x?(??,?)时,恒有|f(x)|?x,则x?0
必是f(x)的 ( ) (A) 间断点 (B) 连续而不可导的点 (C) 可导的点,且f?(0)?0 (D) 可导的点,且f?(0)?0
(3) 设f(x)处处可导,则 ( )
(A) 当limf(x)???,必有limf?(x)???
x???2x???(B) 当limf?(x)???,必有limf(x)???
x???x???(C) 当limf(x)???,必有limf?(x)???
x???x???(D) 当limf?(x)???,必有limf(x)???
x???x???(4) 在区间(??,??)内,方程|x|?|x|?cosx?0 ( )
(A) 无实根 (B) 有且仅有一个实根
1
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(C) 有且仅有两个实根 (D) 有无穷多个实根
(5) 设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且g(x)?f(x)?m(m为常数),由曲线y?g(x),
y?f(x),x?a及x?b所围平面图形绕直线y?m旋转而成的旋转体体积为 ( )
(A) (B) (C) (D)
???2m?f(x)?g(x)??f(x)?g(x)?dx
ab???2m?f(x)?g(x)??f(x)?g(x)?dx
ab???m?f(x)?g(x)??f(x)?g(x)?dx
ab???m?f(x)?g(x)??f(x)?g(x)?dx
ab
三、(本题共6小题,每小题5分,满分30分.) (1) 计算(2) 求
?ln201?e?2xdx.
dx?1?sinx.
?x?tf(u2)du,2dy??0(3) 设?其中f(u)具有二阶导数,且f(u)?0,求2.
22dx?y?[f(t)],?(4) 求函数f(x)?1?x在x?0点处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式. 1?x2(5) 求微分方程y???y??x的通解.
(6) 设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为2a、2b,用过此柱体底面的短轴与底面成
?角(0????2)的平面截此柱体,得一锲形体(如图),求此锲形体的体积V.
?
四、(本题满分8分)
计算不定积分
2
arctanx?x2(1?x2)dx.
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五、(本题满分8分)
?1?2x2,x??1,?3?1?x?2, 设函数f(x)??x,?12x?16,x?2.?(1) 写出f(x)的反函数g(x)的表达式；
(2) g(x)是否有间断点、不可导点,若有,指出这些点.
六、(本题满分8分)
设函数y?y(x)由方程2y?2y?2xy?x?1所确定,试求y?y(x)的驻点,并判别它是否为极值点.
七、(本题满分8分)
设f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数,且f(a)?f(b)?0,f?(a)f?(b)?0,试证明：存在??(a,b)和??(a,b),使f(?)?0及f??(?)?0.
八、(本题满分8分)
设f(x)为连续函数,
322??y??ay?f(x),(1) 求初值问题?的解y(x),其中a为正的常数；
??yx?0?0(2) 若|f(x)|?k(k为常数),证明：当x?0时,有|y(x)|?
3
k(1?e?ax). a Born to win
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】
1 3x?2?13x??1?2?2?1?12??【解析】y??x?e???1?e?,y?x?0??1???.
3?2?33???2?(2)【答案】2
【解析】注意到对称区间上奇偶函数的积分性质,有
1222??原式??x?2x1?x??1?x?dx???2x1?x2?1?dx?0?2?2. ?1??1???1【相关知识点】对称区间上奇偶函数的积分性质：
若f(x)在[?a,a]上连续且为奇函数,则若f(x)在[?a,a]上连续且为偶函数,则(3)【答案】y?e?x?a?af(x)dx?0；
?a?af(x)dx?2?f(x)dx.
0a?c1cos2x?c2sin2x?
2【解析】因为y???2y??5y?0是常系数的线性齐次方程,其特征方程r?2r?5?0有
?x一对共轭复根r1,r2??1?2i.故通解为y?e?c1cos2x?c2sin2x?.
(4)【答案】2
【解析】因为x??时,sinln?1???k??k?k?:ln?1??:(k为常数),所以, x??x?x原式?limxsinln?1?x????3??1??3??1??limxsinln1??limx??lim???x????x???x???3?1?2. x?x??xx?????x?(5)【答案】ln2?1 211??x2?1?【解析】曲线y?x?,y?2的交点是?1,2?,y???x???,当x?1时 2xx?x?11y?x? y y?x?(单调上升)在y?2上方,于是
xxS??211??x??2??dxx??22 1?1???x2?lnx?2x??ln2?.2?2?1
O 1 2 x 4
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二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)
【解析】方法1：用带皮亚诺余项泰勒公式.由
ex??ax2?bx?1?
??x2??1?x????x2????ax2?bx?1?
2!???1???1?b?x???a?x2???x2?令??x2?,
?2??1?b?0,1??a?,b?1.应选(A). 可得 ?12?a?0,??2方法2：用洛必达法则.由
ex?(ax2?bx?1)ex?2ax?blim洛lim?0, 2x?0x?0x2x有 lime?2ax?b?1?b?0?b?1.
x?0?x?ex?2ax?bex?2a1?2a1?lim??0?a?. 又由 limx?0x?02x222应选(A).
(2)【答案】(C)
【解析】方法一：首先,当x?0时,|f(0)|?0?f(0)?0. 而按照可导定义我们考察
f(x)?f(0)f(x)x20????x?0(x?0),
xxx由夹逼准则, f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?0,故应选(C).
x2方法二：显然,f(0)?0,由|f(x)|?x,x?(??,?),得
f(x)?1,x?(??,0)U(0,?),即x2f(x)有界,且 x2f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?f(x)??lim?2?x??0. x?0x?x?故应选(C).
方法三：排除法.
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1996考研数二真题及解析
