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东北师范大学 2013 年 春季 学期 期末 考试试卷
课程名称： 量子力学 试卷类型： A （A卷/ B卷）
考试时间： 90 分钟 考试方式： 闭 卷（开卷/闭卷）
（卷面总分100分，占总成绩的 70% ）
题 号 得 分 评卷人 一 二 三 四 五 六 总分 复核人
得 分 一、填空题（每空1分，共20分） 1、1923年德布罗意在普朗克-爱因斯坦的光量子论的启发下，提出了物质波假设，即与一定动量p和能量E的实物粒子相对应的波的频率和波长分别为 和 人们后来称其为德布罗意关系。
2、按照Born的统计诠释，描述单粒子量子体系的波函数?(r)通常称为概率波，?(r)表示概率密度，其意义是：
2?(r)?x?y?z表示在r处的体积元?x?y?z中找到粒子的 。而??(r)dr?1称作波函数的 ，其物
??2??理意义是在全空间找到粒子的 。
3、质量为m的粒子在势场V(r)中运动，若用波函数?(r,t)描述其状态，则波函数满足的薛定谔方程为 。 4、从薛定谔方程出发，能够推导出概率守恒的微分表达式： ，式中 和 分别为概率密度和概率流密度。
5、束缚能量本征态的能量是 它是束缚态边界条件下求解能量本征方程的必然结果，而非束缚的能量本征态的能量是 ，因而在通常情况下仅研究粒子的隧道效应。
6、一个质量为m的粒子在宽度为a的一维无限深方势阱?0?x?a?中运动，能量本征值为 ，相应的本征函数为 ；从能级公式可以看出，粒子的能量是 ，这是由于边界条件造成的；而且最低能量 （填“为零”或“不为零”）这与经典粒子不同，是微观粒子波动性的表现。
7、对于在V(x)????(x)（式中??0）势阱中运动的粒子，其能量本征函数?(x)在x?0处是 （填“连续”或“不连续” ），而??(x)是不连续的，故从能量本征方程可得到跃变条件： 。
8、质量m、频率?的一维线性谐振子，若在动量表象中用波函数?(p,t)来描述，则?(p,t)所满足的演化微分方程为 。
9、 质量为m、频率为?的三维各向同性谐振子的某能级简并度为6，则能量为??2?32?。
10、为了便于研究电子自旋，引入三个2?2的Pauli矩阵?x、?y和?z；在?z表象中，它们的矩阵形式分别为：
。
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得 分 二、选择题（每小题3分，共30分）
1、在下列实验中，表明了辐射场的粒子性的实验为 A、E ，主要证明能量交换的量子性的实验为 B、C ，主要表明物质粒子的波动性的实验为 D 。
A、光电效应； B、黑体辐射谱； C、Franck-Hertz实验， D、戴维逊-革末电子衍射实验； E、Compton实验。 2、电子具有自旋的实验证据为 A B C 。
A、Stern-Gerlach实验 B、光谱精细结构 C、反常Zeemann效应 D、戴维孙?革末实验 E、康普顿散射 3、测量一个处于自由空间的电子自旋的z分量，结果为
2。
(1)、紧接着测量自旋的x分量，可能得到结果是 A、B ， A、
2 B、?2 C、0 D、 E、?
(2)、得到(1)的结果概率是 B ；
A、1 B、12 C、23 D、0 E、13 (3)、如果测量自旋方向的轴与z轴成?角，测得结果为
2的概率 B ；
A、sin2(?2) B、cos2(?2) C、sin? D、cos?
?为动量算符；则xp??? 。 ?的属于本征值为x的本征矢，而p4、设?为任意态矢量，x为坐标算符x??x? B、ix? C、xx? D、?xx? ?x?x5、以下几对算符中，存在共同本征态的有 。 A、?i?,S? D、L?,L? ?x,p?y B、x?,p?x C、S A、pxyxy6、质量为?的一维线性谐振子，置于力场中使其势能变为U(x)? A、没有变化 B、各状态能量变化不同 C、下降7、下列说法正确的有 A、C 、D 。
A、两个厄米算符之和仍为厄米算符。 B、两个厄米算符之积一定是厄米算符。
C、在任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。 D、在任意状态下平均值都为实数的算符必为厄米算符。
8、一维的自由单粒子的能级简并度为 B ， 若在一个平面上自由运动的粒子，它的能级简并度又为 D ；在三维空间自由运动的粒子的能级简并度为 D 。
A、1 B、2 C、3 D、? E、0 9、对于自由粒子，下列哪些量是守恒量。 A B C A、动量 B、角动量 C、能量 D、宇称 10、
1则谐振子各状态的能量将 。 ??2x2?ax，
2 D、上升
a22??2a22??2
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得 分 三、证明题（每小题5分，共15分）
?????????1、根据量子力学最基本的对易关系式，证明下列对易式：??L?,x???i????x? 和?L?,p???i????p?，其中?,?,??1,2,3。
2、证明：厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此正交。
?xe?i???z???xcos2????ysin2?，这里?为常数。 3、证明：ei???z?
得 分 四、计算题（每小题5分，共35分）
???表象中为??r,?,????1、已知氢原子的波函数在Sz???1R21Y10?41R31Y11?31?R31Y10?6?，求下列各问题： 1?R32Y20?4??2?的可能值及其相应的几率，(2)、测得L?的可能值及其相应的几率；(3)、测量能量E的可能值及相应的(1)、测量S和Lzz?2?、L?及E的期望值。 几率；(4)、测得S、Lzz
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?在某一表象中，其矩阵形式为A??22?。 (1)、求A?的本征值和相应的本征函数，(2)、将该矩阵对角化；2、已知算符A ???13?(3)、把该矩阵表示成单位矩阵和Pauli矩阵的线性组合形式。
[解] (1)、设归一化的本征态为??，其本征方程为??a??b?2??2?22??a??a?，解久期方程???0得?1?1及?2?4。 ?????13bb13??????????1?1??2?4??1?1??2?4????的本征值及对应的本征函数分别为?故有?2和?1，因此A1??2?和?1?1?。 ???1?5?1???2?2?1??a1??2b1??5?a2?b2?2??????????21?1?1?1??1(2)、变换矩阵写为S??，其逆矩阵为S?????，于是有
11?1?23????1?1?1??22???21?1?1?1???21??10? S?1AS?????????????????
3??1?2??13??11?3??4?8??11??04??01??0?i??10??10?53i1(3)、泡利矩阵为?x??，所以A???????I。 ?? ?? I?zxyyz???????222210i00?101????????
?1?rae，3、对于氢原子基态，计算?x??px。（提示：氢原子基态波函数?100(r,?,?)?可能用到的积分公式：?xne?xdx?n!） 3?a0 第 4 页（共 4 页）
物理学相关 2013A
