空间向量在立体几何中的应用练习题 （限时60分钟，满分100分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题（每题5分）(共25分)
1．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2，AD?4，AB?6，如图，建立空间直角坐标系D?xyz，则该长方体的中心M的坐标为_________．
2．在空间直角坐标系中，点M(?2,4,?3)在xOz平面上的射影为点M1，则M1关于原点的对称点坐标是________．
3．已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面?的法向量.若cos?m,n???3，则2l与?所成角的大小为____________.
4．已知向量m??2,?1,6?，n??1,?,3?，且m//n，则?的值为______. 5．空间两点M(?1,?2,4)，N(1,?1,2)间的距离MN为_____．
二、解答题（每题25分）(共75分)
6．AD∥BC，SA⊥平面ABCD，如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90，SA=AB=BC=1，AD=
1，试建立适当的坐标系. 2
（1）求平面ABCD的一个法向量；
试卷第1页，总2页
（2）求平面SAB的一个法向量； （3）求平面SCD的一个法向量.
7．如图所示，AE⊥平面ABCD，四边形AEFB为矩形，BC//AD，BA?AD，
AE?AD?2AB?2BC?4．
（1）求证：CF//平面ADE；
（2）求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值．
8．如图，在四棱锥P?ABCD中，AB//CD，且?BAP??CDP?90.
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，?APD?90，求二面角A?PB?C的余弦值.
试卷第2页，总2页
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参考答案
1．(2,3,1) 【解析】 【分析】
先求出点B的坐标，再求出M的坐标. 【详解】
由题得B(4,6,0),D1(0,0,2), 因为M点是BD1中点， 所以点M坐标为(2,3,1). 故答案为(2,3,1) 【点睛】
本题主要考查空间坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．(2,0,3) 【解析】 【分析】
先写出点M1的坐标，再求M1关于原点的对称点坐标即可 【详解】
根据在xOz平面上的点的性质可知，纵坐标为0，其他坐标不变，
? 点M在xOz平面上的射影M1的坐标为(?2,0,?3)，
M1关于原点的对称点的坐标为(2,0,3)．
故答案为：(2,0,3) 【点睛】
本题主要考查了空间直角坐标系中点的对称和坐标在平面内的射影问题，属于基础题. 3．60 【解析】 【分析】
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线面角的正弦值即为m,n所成角的余弦值的绝对值，即可得答案. 【详解】
设l与?所成角为?，由线面角的定义可得??[0,90]，
?则sin??|cos?m,n?|?故答案为：60. 【点睛】
3，则??60?. 2本题考查线面角的求法，考查分析理解的能力，属基础题. 4．?1 2【解析】 【分析】
根据空间向量平行的坐标计算公式，即可容易求得结果. 【详解】
因为向量m??2,?1,6?，n??1,?,3?，且m//n，
1?2，解得???. ?21故答案为：?.
2故可得2??【点睛】
本题考查由空间向量共线求参数值，属简单题. 5．3 【解析】 【分析】
根据空间中两点间的距离公式即可得到答案 【详解】
由空间中两点间的距离公式可得; MN?(1?1)2?(?1?2)2?(2?4)2?3; 故距离为3 【点睛】
本题考查空间中两点间的距离公式，属于基础题。
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6．（1）(0，0，1)；（2）【解析】 【分析】
1，0，0 ；（3）(2，-1，1). 2以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系： （1）由法向量的定义可知，AS是平面ABCD的一个法向量； （2）可证AD⊥平面SAB，所以AD是平面SAB的一个法向量；
（3）设平面SCD的法向量是n=(x，y，z)，根据n⊥DC，n⊥SC，计算可得结果. 【详解】
以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D（1）∵SA⊥平面ABCD，
∴AS=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.
1，0，0，S(0，0，1). 2（2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，
1，0，0是平面SAB的一个法向量. 21（3）在平面SCD中，DC=，1，0，SC=(1，1，-1).
2∴AD=
?n·DC?0，设平面SCD的法向量是n=(x，y，z)，则n⊥DC，n⊥SC，∴?
n·SC?0，??1?x?y?0，?x??2y，??得方程组?2
z??y，???x?y?z?0，令y??1，则z?1，x?2，∴n=(2，-1，1). 所以n=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量.
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空间向量在立体几何中的应用练习题(限时60分钟,满分100分
