几何模型压轴题单元达标训练题（Word版 含答案）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S△PMN最大＝【解析】 【分析】
（1）由已知易得BD?CE，利用三角形的中位线得出PM?49． 211CE，PN?BD，即可22得出数量关系，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出?DPM??DCA，最后用互余即可得出位置关系；
（2）先判断出?ABD??ACE，得出BD?CE，同（1）的方法得出PM?1BD，2PN?1BD，即可得出PM?PN，同（1）的方法由2?MPN??DCE??DCB??DBC??ACB??ABC，即可得出结论；
（3）方法1：先判断出MN最大时，?PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大?AM?AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD最大时，?PMN的面积最大，而BD最大是AB?AD?14，即可得出结论． 【详解】 解：（1）
点P，N是BC，CD的中点，
?PN//BD，PN?1BD， 2点P，M是CD，DE的中点，
?PM//CE，PM?1CE， 2AB?AC，AD?AE， ?BD?CE， ?PM?PN， PN//BD，
??DPN??ADC， PM//CE，
??DPM??DCA， ?BAC?90?，
??ADC??ACD?90?，
??MPN??DPM??DPN??DCA??ADC?90?， ?PM?PN，
故答案为：PM?PN，PM?PN；
（2）?PMN是等腰直角三角形． 由旋转知，?BAD??CAE，
AB?AC，AD?AE，
??ABD??ACE(SAS)，
??ABD??ACE，BD?CE，
11利用三角形的中位线得，PN?BD，PM?CE，
22?PM?PN，
??PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM//CE， ??DPM??DCE，
同（1）的方法得，PN//BD， ??PNC??DBC，
?DPN??DCB??PNC??DCB??DBC，
??MPN??DPM??DPN??DCE??DCB??DBC
??BCE??DBC??ACB??ACE??DBC ??ACB??ABD??DBC??ACB??ABC， ?BAC?90?，
??ACB??ABC?90?， ??MPN?90?，
??PMN是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，?PMN是等腰直角三角形，
?MN最大时，?PMN的面积最大， ?DE//BC且DE在顶点A上面， ?MN最大?AM?AN，
连接AM，AN，
在?ADE中，AD?AE?4，?DAE?90?，
?AM?22，
在Rt?ABC中，AB?AC?10，AN?52， ?MN最大?22?52?72，
?S?PMN最大?111149PM2??MN2??(72)2?． 22242方法2：由（2）知，?PMN是等腰直角三角形，PM?PN?1BD， 2?PM最大时，?PMN面积最大， ?点D在BA的延长线上，
?BD?AB?AD?14，
?PM?7，
?S?PMN最大?1149PM2??72?． 222【点睛】
此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出
11PM?CE，PN?BD，解（2）的关键是判断出?ABD??ACE，解（3）的关键
22是判断出MN最大时，?PMN的面积最大．
2．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．
(1) 如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，求证：PC＝PE；
(2) 如图2，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，当点E落在边CA的延长线上时，探索PC与PE的数量关系，并说明理由．
(3) 如图3，把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转，点F落在边AB上．其他条件不变，问题(2)中的结论是否发生变化？如果不变，请加以证明；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）PC＝PE，理由见解析；（3）成立，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可；
（2）先判断△CBP≌△HPF，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半； （3）先判断△DAF≌△EAF，再判断△DAP≌△EAP，然后用比例式即可； 【详解】
解：（1）证明：如图：
∵∠ACB＝∠AEF＝90°，
∴△FCB和△BEF都为直角三角形． ∵点P是BF的中点， ∴CP＝
11BF，EP＝BF， 22∴PC＝PE．
（2）PC＝PE理由如下： 如图2，延长CP，EF交于点H，
∵∠ACB＝∠AEF＝90°， ∴EH//CB，
∴∠CBP＝∠PFH，∠H＝∠BCP， ∵点P是BF的中点， ∴PF＝PB，
∴△CBP≌△HFP(AAS)， ∴PC＝PH， ∵∠AEF＝90°，
∴在Rt△CEH中，EP＝∴PC＝PE．
1CH， 2（3）(2)中的结论，仍然成立，即PC＝PE，理由如下：
如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，
∵∠DAF＝∠EAF，∠FDA＝∠FEA＝90°，
??DAF??EAF,?在△DAF和△EAF中，??FDA??FEA,
?AF?AF,?∴△DAF≌△EAF(AAS)， ∴AD＝AE，
?AD?AE,?在△DAP≌△EAP中，??DAP??EAP,
?AP?AP,?∴△DAP≌△EAP (SAS)， ∴PD＝PF，
∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC， ∴FD//BC//PM， ∴
DMFP?， MCPB∵点P是BF的中点， ∴DM＝MC， 又∵PM⊥AC， ∴PC＝PD， 又∵PD＝PE， ∴PC＝PE． 【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边一半，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线是解本题的关键也是难点．
3．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系 ；
几何模型压轴题单元达标训练题(Word版 含答案)
