∵EF=2DE， ∴EF∥AC，EF=AC，
∴四边形ACEF是平行四边形， ∴AF=CE；
（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下： ∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=60°，AC=AB=AE， ∴△AEC是等边三角形， ∴AC=CE，
又∵四边形ACEF是平行四边形， ∴四边形ACEF是菱形．
23．（9分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元． （1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．
【解答】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元． 由题意：解得x=150，
经检验x=150是分式方程的解，
答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元．
（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件． 由题意：v=80m+70（250﹣m）=10m+17500， ∵80≤m≤250﹣m， ∴80≤m≤125，
（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，
=
×2，
①当10﹣a＞0时，即0＜a＜10时，w随m的增大而增大，所以m=125时，最大利润为（18750﹣125a）元． ②当10﹣a=0时，最大利润为17500元．
③当10﹣a＜0时，即10＜a≤80时，w随m的增大而减小，所以m=80时，最大利润为（18300﹣80a）元．
24．（10分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE，过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P． （1）求证：AC2=AE?AB；
（2）试判断PB与PE是否相等，并说明理由；
（3）设⊙O的半径为4，N为OC的中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．
【解答】证明：（1）如图1，连接BC， ∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴
=
，
∴∠A=∠ABC． ∵EC=AE， ∴∠A=∠ACE． ∴∠ABC=∠ACE． ∵∠A=∠A， ∴△AEC∽△ACB． ∴
2
，
∴AC=AE?AB； （2）PB=PE．
理由是：如图2，连接OB， ∵PB为⊙O的切线， ∴OB⊥PB， ∴∠OBP=90°， ∴∠PBN+∠OBN=90°． ∵∠OBN+∠COB=90°，
∴∠PBN=∠COB．
∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，∠COB=2∠A， ∴∠PEB=∠COB， ∴∠PEB=∠PBN． ∴PB=PE；
（3）如图3，∵N为OC的中点， ∴ON=OC=OB， Rt△OBN中，∠OBN=30°， ∴∠COB=60°， ∵OC=OB，
∴△OCB为等边三角形，
∵Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，
∵OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小， 当P、Q、O三点共线时，PQ最小， ∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小， ∵∠A=∠COB=30°， ∴∠PEB=2∠A=60°， ∠ABP=90°﹣30°=60°， ∴△PBE是等边三角形，
Rt△OBN中，根据勾股定理得，BN=2∴AB=2BN=4
，
﹣x，
﹣x）2，解得：x=， =
，
，
设AE=x，则CE=x，EN=2Rt△CNE中，x2=22+（2∴BE=PB=4
﹣
=
Rt△OPB中，OP=∴PQ=
﹣4．
则线段PQ的最小值是﹣4．
25．（12分）如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x+bx+c经过点A，B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． ①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．
2
【解答】解：
（1）∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B， ∴0=﹣2+c，解得c=2， ∴B（0，2），
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+
x+2；
（2）①由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，
∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N， ∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m+∴PM=﹣m+2，AM=3﹣m，PN=﹣m2+
2
m+2），
m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM， ∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°， 当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN， ∴N点的纵坐标为2， ∴﹣m2+
m+2=2，解得m=0（舍去）或m=2.5，
∴M（2.5，0）；
当∠NBP=90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，
则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，BC=﹣m2+∵∠NBP=90°， ∴∠NBC+∠ABO=90°， ∴∠ABO=∠BNC， ∴Rt△NCB∽Rt△BOA，
m+2﹣2=﹣m2+m，
浙江省杭州市名校2024年中考数学二模数学试卷及答案+(13套中考模拟试卷)
