第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数f(x)＝lg x＋1的零点是( ) 110A. B.10 C. D．10 1010解析：由lg x＋1＝0，得lg x＝－1，所以x＝答案：A
2．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )
A．1 B．－1 C．0 D．不能确定
解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.
答案：C
3．函数f(x)＝2x2－2x的零点所在的区间是( ) A．(－3，－2) C．(2，3)
B．(－1，0) D．(4，5)
1
. 10
13
解析：因为f(－1)＝2×(－1)2－2－1＝2－＝>0，f(0)＝0－20＝
22－1<0，
所以f(－1)f(0)<0，所以函数f(x)＝2x2－2x的零点所在的区间是
1
(－1，0)．故选B.
答案：B
4．若函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
111A．0，2 B．0，－ C．0， D．2， 222解析：函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2， 则2a＋b＝0，所以b＝－2a(a≠0)， 所以g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)(a≠0)， 令g(x)＝0，则－ax(2x＋1)＝0(a≠0)， 1
可得x＝0或x＝－，
2
1
故函数g(x)的零点是0，－，故选B.
2答案：B
5．已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：
x 1 2 3 4 5 6 －123.6 y 124.4 35 －74 14.5 －56.7 则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：依题意，知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个，故选B.
答案：B 二、填空题
6．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数是________．
2
解析：作出函数g(x)＝ln x和h(x)＝x－2的图象，由图可知，这两个图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．
答案：2
7．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0，1)内，则b的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0，1)内，
??f（0）<0，??b<0，所以?即?得－1 ?f（1）>0，??1＋b>0，? 答案：(－1，0) 8．方程3x＝x＋2解的个数是________． 解析：分别作出函数y＝3x和y＝x＋2的图象，可知，这两个函数图象有两个交点，所以方程3x＝x＋2有两个解． 答案：2 三、解答题 9．讨论函数f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零点． 解：当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则其零点为x＝2. ?1?1 当a＝时，则由?2x－1?(x－2)＝0， 2?? 解得x1＝x2＝2，则其零点为x＝2. 1 当a≠0且a≠时，则由(ax－1)(x－2)＝0， 21 解得x＝或x＝2， a 3 综上所述当a＝0时，零点为x＝2； 1 当a＝时，零点为x＝2. 2 11 当a≠0且a≠时，零点为x＝和x＝2. a2 10．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0 ??1－x>0， 解：(1)要使函数有意义：则有? ?x＋3>0，? 解之得：－3 所以函数的定义域为(－3，1)． (2)函数可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝ loga(－x2－2x＋3)， 由f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1， 即x2＋2x－2＝0，解得x＝－1±3. 因为－1±3∈(－3，1)，f(x)的零点是－1±3. B级 能力提升 1．方程2x－x2＝0的解的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：在同一坐标系画出函数y＝2x及y＝x2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x－x2＝0的解的个数为3. 答案：C 2．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为______． 4 x ex x＋2 －1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 解析：设f(x)＝ex－(x＋2)，由题意知f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以方程的一个实根在区间(1，2)内，即k＝1. 答案：1 3．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围． 解：令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14. ???m>0，?m<0， 依题意得?或? ?f（4）<0，??f（4）>0，????m>0，?m<0， 即?或? ??26m＋38<0，26m＋38>0.?? 19 解得－ 13 5
高中数学人教A版第三章3.1-3.1.1方程的根与函数的零点
