（五）例题
0 运用罗必塔法则，得属型， 【解】
0
?
?型，运用罗必塔法则，得 属【 解 】
?
?
??，然后运用罗必塔法则，得· 型，通过变形化为0解 】 属 【
?
。
0
limsinxlnx： 解 】 属0型，先取对数，求 【x??0
于是
页1．
?
?x2
l = 1 -，若 + 3x [ f ' （ x ） ]（ x ）对一切 x 满足xf'' （ x ） y = f 【 例 1 - 2 -37 】 已
知函数 ?
?0 ） x，则 （f ' x ） = 0 （00（ A ） f （ x ）是 f （ x ）的极大值 o （ B ）f（ x ）
是 f （x）的极小值 o （ C ） （ x , f （x））是曲线y= f （ x ）的拐点 0o（ D ） f （x）不是 f （ x ）的极值，（x , f （ x ） ）也不是曲线 y ＝f（ x ）的拐点 o001?x)?l(1> 0, 故 =f （x）是f （ x ）f 】 x＝ x 是 （ x ）的驻点，又 f ' ' （ x ） 【 解应选（。 B ）
23
0
000
x0 的极小值，
在y = 2 x 】 求函数 [ -3 , 4 ] + 3 x上的最大值与最小值。 - 12x + 14 例【 l-2-38
= 6x – 12x +14 , f' （x ） 得 ）= 0, ' （x）–+6x 12 = 6 （x + 2）（）【解】 f （ x =2x +
22 3
3xx -1。令f= 1.
x= -2, x 21最= 142 ,））（ f （ -3 ） = 23, f （ - 2 ） = 34 , f 1 ） = 7 , f （4 = 142, 故最大值为 f （4 算出 1小值为 f （） = 7 。 ?
?1 sin3 x 在x = 处取得极值, a 的值应为= asin x + （ 【例l -2- 39 】 函数 f x）
A （ ） （ B ）2
33 -2
2（ C 32 3 ）（ D . 3? ，便得a = 2 =代人 x， + cos3xf 按可导 3- ）
函数取得极值的必要条件： '（ x）= acosx= 0 , 【解】0 00 o f ） a , b 在（ ）内是
3 。故选（ B ）
）> 0 xy = f ，则曲线 （ x （ x （ a , b ）在（（ 1 -2 - 40【例 】 若f x ）内满足f ' ）< 0 ,
页2．
（ A ）单调上升且是凹的 （ B ）单调下降且是凹的 （ C ）单调上升且是凹的 （ D ）单调下降且是凸的
【 解 】 由 f ' （x ）＜0及函数单调性的判定法， 知曲线是单调下降的。 又由 f （x） > 0 及曲线凹凸性的判定法，知曲线是凹的，故选（ B ）。
六、偏导数全微分 （一）偏导数与全微分 1 ．偏导数概念 ?
?z?z（或 f（ x ,y ）） ，的偏导数依次记作y , （或 f , （ x, y ） ） ，x 函数z = f（x,y ）对 、yx ?y?x 它们的定义如下：
类似地，可以定义三元函数 f （ x , y , z ）的偏导数f（x， y , z ）、f（ x , y ，z）、f（ x , y ，z）zyx等.
按定义，偏导数的求法仍属一元函数微分法的问题。
2 ．多元复合函数的求导法则 ?
??（ x ，y）均具有偏导数，而z＝f（u v 、yx = 设u （ ，） ＝， v ）具有连续偏导数，则
复
页3．
?
??（ x ，y）x ，y），］的偏导数存在，且合函数 z ＝f
[ （
上面这一求导法则，简称为 2 ×2 法则或标准法则。从这标准法则的公式结构，可得它的特征如下： ?
?zz???及的x ，y） z = f [ ，（ x ，y）］有两个自变量，所以法则中包含（ ① 由于函数
?yx? 两个偏导数公式。?z这两项分别含有由于函数的复合结构中有两个中间变量，所以每
一偏导数公式都是两项之和， ②
?u?z。及 ?v
③ 每一项的构成与一元复合函数的求导法则相类似，即“因变量对 间变量的导数再乘以中间变量对自变量的导数”。
由此可见，掌握多元复合函数的求导法则的关键是弄清函数的复合结构，哪些是中间变量，哪些是自变量。为直观地显示变量之间的复合结构，可用结构图（或称树形图） 1-2 -1 来表示出因变量 z 经过中间变量u 、 v 再通向自变量 x 、 y 的各条途径。 按照上述标准法则的三个特征，我们可以将多元复合函数的求导法则推广。 ?
???［z = f u , v ）时，由于函数 ） , z = f （ 如，特别当有一个自变量，u ＝（x ） , v ＝ （x ??（ x ） ，］只有一个自变量，偏导数变成导数（这时称为全导数）；函数复合结构中有两个，
（x ） ）中间变量，所以全导数公式中是两项之和；每项构成与一元复合函数求导法则类似。
于是，有全导数公式 ?
????（ y））x ，y, ］［ ，） z = f ，yv ，yx u 又如， ＝（，） ＝（） （u , v 复合函数z =f
（的结构图如图 1-2 - 2 所示。类似地依以上分析，则有
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．隐函数求导法则3
）具有连续偏导x , y , z F （ x ，y），函数 x , y , z 设方程 F （ ） = 0 确定一个隐函数 z =
注册电气公共基础-第9讲-高等数学(九)(2010新版)
