二次函数与四边形
一．二次函数与四边形的形状
例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线y?x2?2x?3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平 行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线x?A 7的抛物线经过点 2A（6，0）和 B（0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAFy x?7 2是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数B(0,4) 关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E
O 的坐标；若不存在，请说明理由．
E
F A(6,0) x 1
练习2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x轴交于点A(1，0)和B(5，0)的抛物线l1的顶点为
C(3，4)，抛物线l2与l1关于x轴对称，顶点为C?．
（1）求抛物线l2的函数关系式；
（2）已知原点O，定点D(0，4)，l2上的点P与l1上的点P?始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D，O，P，P?为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在l2上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，y l2 求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 5 E 4 3
2
1 A B 1 2 3 4 5 x ?1 O ?1
?2 ?3
?4 ?5 C? l1 0)，B(?2，0)，E(0，8)． 练习3.（山西卷）如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(?4，（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式； （2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于
C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的
面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写
出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
2
二．二次函数与四边形的面积
2
例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P：y=ax+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： x y … … -3 5- 2-2 -4 1 5- 22 0 … … (1) 求A、B、C三点的坐标；
(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.
练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
3
图10
练习3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子．动点P，
Q同时从点A出发，点P沿A?B?C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A?D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm．
（1）当0≤x≤1时，求y与x之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；
（3）当1≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ的变化范围；
（4）当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．
A A B
2B P
O Q
C
D P
C
O Q D
3 2
y
1
O
1
2 x
练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合)，抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.
(1) 求l2的解析式；
(2) 求证：点D一定在l2上；
(3) □ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值
.
4
三．二次函数与四边形的动态探究
例1.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
yCEOFBDPAxCyDBEFOPAx图1
图2
例2.（2010年沈阳市第26题）、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式； （3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由． 5 例3..(湖南省郴州) 27．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线A平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，S?表示矩形NFQC的面积． （1） S与S?相等吗？请说明理由． （2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？ （3）如图11，连结BE，当AE为何值时，?ABE是等腰三角形． AEBDPHADxEPHCNFQMGBMNFCQG图10 图11 练习1.（07年河池市）如图12， 四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）． 点 M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P， 连结AC交NP于Q，连结MQ． （1）点 （填M或N）能到达终点； （2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自 变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大； （3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标， 若不存在，说明理由． OMQCyNBPAx 图12 6 练习2..(江西省) 25．实验与探究 （1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图1， 2)， ， ； 2，3中的顶点C的坐标，它们分别是(5，y B(1，2) y y B(c，d) B(c，d) C D(4，0) C D(e，0) C O (A) 图1 x O (A) 图2 x O A(a，b) D(e，b) x 图3 （2）在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）； y B(c，d) C D(e，f) A(a，b) O 图4 x 归纳与发现 （3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a，b)，B(c，d)，C(m，n)，D(e，f)（如图4）时，则四个顶点的横坐标a，c，m纵坐标b，d，n，f之间的等量关，e之间的等量关系为 ；系为 （不必证明）； 运用与推广 （4）在同一直角坐标系中有抛物线y?x?(5c?3)x?c和三个点G??2?15??19?c，c?，S?c，c?，?22??22?H(2c，0)（其中c?0）．问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四 边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标． 7 答案： 一．二次函数与四边形的形状 例1.解：（1）令y=0，解得x1??1或x2?3∴A（-1，0）B（3，0）； 将C点的横坐标x=2代入y?x2?2x?3得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1 （2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（(x,x2?2x?3)∵P点在E点的上方，PE=(?x?1)?(x2?2x?3)??x2?x?2 ∴当x?19时，PE的最大值= 24（3）存在4个这样的点F，分别是F,0),F2(?3,0),F3(4?7，0),F4(4?7,0) 1(1练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是x?7，可设解析式为 2y7y?a(x?)2?k．把A、B两点坐标代入上式，得 2x?7 272?a(6?)?k?0,?225?2a?,k??. 解之，得?736?a(0?)2?k?4.??2故抛物线解析式为y?B(0,4) F O E A(6,0) 2725725(x?)2?，顶点为(,?). 32626x （2）∵点E(x,y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合 y?2725(x?)2?， 326∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．∵OA是OEAF的对角线， ∴S?2SOAE因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的 取值范围是1＜x＜6． ① 化简，得(x?)?根据题意，当S = 24时，即?4(x?)?25?24． 17?2??OA?y??6y??4(?)2?25． 227227221. 解之，得x1?3,x2?4. 4故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）． 点E1（3，－4）满足OE = AE，所以OEAF是菱形； 点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以OEAF不是菱形． ② 当OA⊥EF，且OA = EF时，OEAF是正方形，此时点E的 坐标只能是（3，－3）． 而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E， 使OEAF为正方形． y 5 4 3 2 1 E l2 8 ?1 O ?1 ?2 1 2 A B 3 4 5 x 练习2.解：（1）由题意知点C?的坐标为(3，?4)．设l2的函数关系式为y?a(x?3)2?4． 又 点A(1，0)在抛物线y?a(x?3)2?4上，?(1?3)2a?4?0，解得a?1． ?抛物线l2的函数关系式为y?(x?3)2?4（或y?x2?6x?5）． （2） P与P?始终关于x轴对称， ?PP?与y轴平行． 2设点P的横坐标为m，则其纵坐标为m?6m?5，OD?4，?2m2?6m?5?4，即 m2?6m?5??2．当m2?6m?5?2时，解得m?3?6．当m2?6m?5??2时，解得 m?3?2．?当点P运动到(3?6，2)或(3?6，2)或(3?2，?2)或(3?2，?2)时， ∥OD，以点D，O，P，P?为顶点的四边形是平行四边形． P?P （3）满足条件的点M不存在．理由如下：若存在满足条件的点M在l2上，则 ?AMB?90，?BAM?30（或?ABM?30）， 11?BM?AB??4?2． 22过点M作ME?AB于点E，可得?BME??BAM?30． y5 D3 2 1 Cl211?EB?BM??2?1，EM?3，OE?4． 22?点M的坐标为(4，?3)． 但是，当x?4时，y?42?6?4?5?16?24?5??3??3． ?1O?1?2?3?4?51 2 3 AE4 5 BxMC?l1?不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形． 40，)，20，)，08，)关于原点的对称点分别为D(4，0)，C(2，0)，练习3. [解] （1）点A(?点B(?点E(F(0，?8)． 设抛物线C2的解析式是 ，?16a?4b?c?0，?a??1??y?ax2?bx?c(a?0)，则?4a?2b?c?0，解得?b?6， ?c??8．?c??8．??所以所求抛物线的解析式是y??x?6x?8． 2，?1)，N(31)，． （2）由（1）可计算得点M(?3过点N作NH?AD，垂足为H． 当运动到时刻t时，AD?2OD?8?2t，NH?1?2t． 根据中心对称的性质OA?OD，OM?ON，所以四边形MDNA是平行四边形． 9 所以S?2S△ADN．所以，四边形MDNA的面积S?(8?2t)(1?2t)??4t2?14t?8． 因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知0≤t?4． 2所以，所求关系式是S??4t?14t?8，t的取值范围是0≤t?4． （3）S??4?t?所以t???7?81??，（0≤t?4）． 4?4781时，S有最大值． 44提示：也可用顶点坐标公式来求． （4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD，MN，所以当AD?MN时四边形MDNA是矩形． 所以OD?ON．所以OD?ON?OH?NH． 所以t?4t?2?0．解之得t1?6?2，t2??6?2（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时t?6?2． [点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。 二．二次函数与四边形的面积 例1. 解：（1）解法一：设y?ax?bx?c(a?0)， 222222212x+x-4， 2令y=0，求出x1=-4,x2=2；令x=0，得y=-4， 任取x,y的三组值代入，求出解析式y=∴ A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . ········· 55解法二：由抛物线P过点(1，-)，(-3，-)可知， 22抛物线P的对称轴方程为x=-1， 又∵ 抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知， 点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . ADDG（2）由题意，，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m， ········ =AOOCBEEF又 ，EF=DG，得BE=4-2m，∴ DE=3m， =BOOC∴sDEFG=DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m (0＜m＜2) . 2 注：也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC，或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解. 2 (3)∵SDEFG=12m-6m (0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 . 当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)， 10 设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=又可求得抛物线P的解析式为：y=2222，b=-，∴y=x-， 333312x+x-4， 2?1?61221令x-=x2+x-4，可求出x?. 设射线DF与抛物线P相交于点N， 3323-1-61则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有 3-5+61FNHE3==， =93DFDE点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是 -5+61k≠且k＞0. 9说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分. 若选择另一问题： ADDG(2)∵，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2， =AOOCFGCP又∵， 而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3， =ABOC-2--1-61∴sDEFG=DG·FG=6. 练习1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC． ················· 1分 ∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称， ∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） ··················· 3分 （写错一个点的坐标扣1分） （2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为∵抛物线过点A（0，4）， ∴ ．则抛物线关系式为 ． ·············· 4分 ， 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得 11 ···························· 5AB，垂足为 G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝分 解得····················· 6分 所求抛物线关系式为：．········ 7分 （3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． ·········· 8分 ∴ OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA 分 ∵ ． ∴当 时，S的取最小值． （ 0＜ ＜4） ········ 10 又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． ······· 12分 （4）当 时，GB=GF，当 时，BE=BG． 14分 练习3.[解] （1）当0≤x≤1时，AP?2x，AQ?x，y?即y?x． 21AQAP?x2， 21S正方形ABCD时，橡皮筋刚好触及钉子， 2411BP?2x?2，AQ?x，?2x?2?x??2??22，?x?． 3224（3）当1≤x≤时，AB?2， 3（2）当S四边形ABPQ?PB?2x?2，AQ?x， ?y?AQ?BPx?2x?2AB??2?3x?2， 22y 即y?3x?2． 作OE⊥AB，E为垂足． 3 2 12 1 4≤x≤2时，BP?2x?2，AQ?x，OE?1， 331?2x?21?x?1??1?x， y?S梯形BEOP?S梯形OEAQ?2223即y?x． 2当 90≤∠POQ≤180或180≤∠POQ≤270 （4）如图所示： 练习4.[解] (1) 设l2的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)， ∵l1与x轴的交点为A(-2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，- 4)，l2与l1关于x轴对称， ∴l2过A(-2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0，4)， ??4a?2b?c?0,∴?4a?2b?c?0, ??c?4.∴ a=-1,b=0,c=4，即l2的解析式为y= -x2+4 . (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答) (2) 设点B(m，n)为l1：y=x2-4上任意一点，则n= m2-4 (*). ∵ 四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称， ∴ B、D关于原点O对称， ∴ 点D的坐标为D(-m,-n) . 由(*)式可知， -n=-(m2-4)= -(-m)2+4， 即点D的坐标满足y= -x2+4， ∴ 点D在l2上. (3) □ABCD能为矩形. 过点B作BH⊥x轴于H，由点B在l1：y=x2-4上，可设点B的坐标为 (x0，x02-4)， 则OH=| x0|，BH=| x02-4| . 易知，当且仅当BO= AO=2时，□ABCD为矩形. 在Rt△OBH中，由勾股定理得，| x0|2+| x02-4|2=22， (x02-4)( x02-3)=0，∴x0=±2(舍去)、x0=±3 . 所以，当点B坐标为B(3 ，-1)或B′(-3 ，-1)时，□ABCD为矩形，此时，点D的坐标分别是D(-3 ，1)、D′( 3 ，1). 因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′ . 设直线AB与y轴交于E ，显然，△AOE∽△AHB， EOBHEO1?∴ = ，∴. AOAH22?3∴ EO=4-23 . 由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面积为 11 S=2SΔACE=2× × AC ×EO =2× ×4×(4-23 )=16 - 83 . 22 三．二次函数与四边形的动态探究 例1.解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA． ∴Rt△POE∽Rt△BPA． 13 ∴ POBAOE?AP．即xy?34?x．∴y=13x(4?x)??13x2?43x(0＜x＜4)． 且当x=2时，y有最大值13． (2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)． ??c?1,?a?1?2,设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则??a?b?c?0,∴?3??b??, ?16a?4b?c?3.?2??c?1.?y= 12x2?32x?1． (3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件． 直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)． 将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)， ∴该直线为y=x＋1． ?y?x?1,由??得?x?5,∴Q(5，??y?12x2?3? 2x?1,?y?6.6)． 故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件． 例2.解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 ……………………1分∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC ∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8） 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0） …………………4分 （2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上 ∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得 解得 ∴所求抛物线的表达式为y＝x2 x＋8 ………………………7分 （3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m， ∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴ 即 14 ∴EF＝ ∴＝ ∴FG＝·＝8－m ∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m） ＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m …………10分 自变量m的取值范围是0＜m＜8 …………………………11分 （4）存在． 理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8 且－＜0， ∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ………………………12分 ∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0） ∴△BCE为等腰三角形． …………………………14分 （以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分） 例3解: （1）相等 理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形， 所以S?EGH?S?EGF,S?ECN?S?ECP,S?CGQ?S?CGM 所以S?EGH?S?ECP?S?CGM?S?EGF?S?ECN?S?CGQ, 即：S?S? （2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，设AE＝x，则EC＝5－x，PC?35(5?x),MC?45x,所以S?PCMC?1225x(5?x)，即S??121225x2?5x(0?x?5) 15 配方得：S??S有最大值3 1255(x?)2?3，所以当x?时， 25225（3）当AE＝AB＝3或AE＝BE＝或AE＝3.6时，?ABE是等腰三角形 2 练习1． 解：（1）点 M 1分（2）经过t秒时，NB?t，OM?2t 则CN?3?t，AM?4?2t∵?BCA=?MAQ=45∴QN? CN ?3?t ∴PQ ?1? t ∴S△AMQ112?1?9?AMPQ?(4?2t)(1?t)??t?t?2 ∴S??t2?t?2???t??? 22?2?41时，S的值最大． 22∵0≤t≤2∴当t?（3）存在．设经过t秒时，NB=t，OM=2t 则CN?3?t，AM?4?2t∴?BCA=?MAQ=45 ①若?AQM?90，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高 ∴PQ是底边MA的中线 ∴PQ?AP?∴点M的坐标为（1，0） ②若?QMA?90，此时QM与QP重合∴QM?QP?MA∴1?t?4?2t∴t?1 ∴点M的坐标为（2，0） 练习2.解：（1）(e?c，d)，(c?e?a，d)． （2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A，B1，C1，D1， 1分别过A，D作AE?BB1于E，DF?CC1于点F． 在平行四边形ABCD中，CD?BA，又 111MA∴1?t?(4?2t)∴t? 222y B(c，d) BB1∥CC1， C F D(e，f) ??EBA??ABC??BCF??ABC??BCF??FCD?180． ??EBA??FCD． 又 E A(a，b) O 1C 1DB1A 1 x ?BEA??CFD?90， ?△BEA≌△CFD． ?AF?DF?a?c，BE?CF?d?b． 设C(x，y)．由e?x?a?c，得x?e?c?a． 由y?f?d?b，得y?f?d?b．?C(e?c?a，f?d?b)． （3）m?c?e?a，n?d?f?b．或m?a?c?e，n?b?d?f． 16 （4）若GS为平行四边形的对角线，由（3）可得P，7c)．要使P1在抛物线上， 1(?2c则有7c?4c2?(5c?3)?(?2c)?c，即c?c?0． 2?c1?0（舍去），c2?1．此时P7)． 1(?2，若SH为平行四边形的对角线，由（3）可得P，2c)，同理可得c?1，此时P2(3，2)． 2(3c若GH为平行四边形的对角线，由（3）可得(c，?2c)，同理可得c?1，此时P，?2)． 3(1综上所述，当c?1时，抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形． 符合条件的点有P7)，P2(3，2)，P3(1，?2)． 1(?2，练习3.解：⑴由Rt△AOB≌Rt△CDA得 ??? OD=2+1=3,CD=1 ∴C点坐标为(－3,1), ∵抛物线经过点C, ∴1= (－3)2 a＋(－3)ａ－2，∴a?∴抛物线的解析式为y?1。 2121x?x?2. 22⑵在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。 以AB边在AB右侧作正方形ABPQ。过P作PE⊥OB于E，QG⊥x轴于G， 可证△PBE≌△AQG≌△BAO， ∴PE＝AG＝BO＝2，BE＝QG＝AO＝1， ∴∴P点坐标为（2,1），Q点坐标为（1,－1）。 由（1）抛物线y?121x?x?2。 22当x＝2时，y＝1，当x＝,1时，y＝－1。 ∴P、Q在抛物线上。 故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,－1），使四边形ABPQ是正方形。 ⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。 延长CA交抛物线于Q，过B作BP∥CA交抛物线于P，连PQ，设直线CA、BP的解析式分别为y=k1x+b1, y=k2x+b2, ∵A（－1,0），C（－3,1）， ∴CA的解析式y??1111x?，同理BP的解析式为y??x?， 2222 17 11?y??x???22解方程组?得Q点坐标为（1,－1），同理得P点坐标为（2,1）。 11?y?x2?x?2?22?由勾股定理得AQ＝BP＝AB＝5，而∠BAQ＝90°， ∴四边形ABPQ是正方形。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,－1），使四边形ABPQ是正方形。 ⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。 如图，将线段CA沿CA方向平移至AQ， ∵C（－3,1）的对应点是A（－1,0），∴A（－1,0）的对应点是Q（1,－1），再将线段AQ沿AB方向平移至BP，同理可得P（2,1） ∵∠BAC＝90°，AB＝AC ∴四边形ABPQ是正方形。经验证P（2,1）、Q（1,－1）两点均在抛物线y?⑶结论② 121x?x?2上。 22BFBG?成立， AFAG证明如下：连EF，过F作FM∥BG交AB的延长线于M，则△AMF∽△ABG， ∴ MFBG?。由⑴知△ABC是等腰直角三角形， AFAG∴∠1＝∠2＝45°。∵AF＝AE，∴∠AEF＝∠1＝45°。∴∠EAF＝90°，EF是⊙O′的直径。 ∴∠EBF＝90°。∵FM∥BG，∴∠MFB＝∠EBF＝90°，∠M＝∠2＝45°， ∴BF＝MF， 18 ∴ BFBG? AFAG 19
二次函数与四边形的动点问题（含答案）
