简单的三角恒等变换
[学习目标] 1.能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法．理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用.3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．
知识点一 半角公式及其推导 α (1)S?：sin ＝±
2
21－cos α
； 21＋cos α
； 21－cos α
(无理形式)
1＋cos α
α
(2)C?：cos ＝±
2
2α
(3)T?：tan ＝±
2
21－cos αsin α
＝＝(有理形式)．
sin α1＋cos α
ααα
思考1 试用cos α表示sin 、cos 、tan . 222ααα
答案 ∵cos α＝cos2－sin2＝1－2sin2，
222αα1－cos α
∴2sin2＝1－cos α，∴sin2＝，
222α∴sin ＝±
2
1－cos α
； 2
αα1＋cos α
∵cos α＝2cos2－1，∴cos2＝，
222α
∴cos ＝±
2
sin2
1＋cos α
； 2
α1－cos α221－cos αα
∵tan2＝＝＝，
21＋cos α1＋cos α2αcos
22α
∴tan ＝±
2
1－cos α
. 1＋cos α
1－cos ααsin α
思考2 证明tan ＝＝.
21＋cos αsin α
αα2sin cos
22sin αα
证明 ∵＝＝tan ，
α21＋cos α
2cos2
2αsin αα1－cos α∴tan ＝，同理可证tan ＝. 21＋cos α2sin α1－cos ααsin α∴tan ＝＝.
21＋cos αsin α
知识点二 辅助角公式asin x＋bcos x＝a2＋b2·sin(x＋φ) 使asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)成立时，cos φ＝
ab
，sin φ＝，其中φ称为a2＋b2a2＋b2辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．
π
思考1 将下列各式化成Asin(ωx＋φ)的形式，其中A>0，ω>0，|φ|<.
2πx＋?； (1)sin x＋cos x＝2sin??4?πx－?； (2)sin x－cos x＝2sin??4?πx＋?； (3)3sin x＋cos x＝2sin??6?πx－?； (4)3sin x－cos x＝2sin??6?πx＋?； (5)sin x＋3cos x＝2sin??3?πx－?. (6)sin x－3cos x＝2sin??3?
思考2 请写出把asin x＋bcos x化成Asin(ωx＋φ)形式的过程． 答案 asin x＋bcos x ＝a2＋b2?
?asin x＋bcos x?
?a2＋b2?a2＋b2?
＝a2＋b2(sin xcos φ＋cos xsin φ) ＝a2＋b2sin(x＋φ) (其中sin φ＝
ba
，cos φ＝)． a2＋b2a2＋b2
题型一 半角公式的应用
1ααα
例1 已知cos α＝，α为第四象限角，求sin 、cos 、tan .
3222α
解 sin ＝±
2αcos ＝±
2αtan ＝±
2
1－cos α
＝± 2
11－33＝±， 2311＋36＝±， 2311－32＝±. 121＋3
1＋cos α
＝± 21－cos α
＝±1＋cos α
α
∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角．
2α
当为第二象限角时， 2
α3α6α2sin＝，cos＝－，tan＝－； 232322α
当为第四象限角时， 2
α3α6α2sin＝－，cos＝，tan＝－. 232322
45πθθ跟踪训练1 已知sin θ＝，且<θ<3π，求cos 和tan . 522245π
解 ∵sin θ＝，<θ<3π，
523
∴cos θ＝－1－sin2θ＝－.
5
θθ1＋cos θ1
由cos θ＝2cos2－1得cos2＝＝.
22255πθ3
∵<<π. 422θ
∴cos ＝－
2
sin
1＋cos θ5
＝－. 25
θθθ2cos sin 222θsin θ
tan ＝＝＝＝2.
2θ1＋cos θ2θcos 2cos
22
题型二 三角恒等式的证明
必修四简单的三角恒等变换(附答案)
