【解析】由已知可归纳如下：f?x?＝x1?21?1?x?21, fx2?x?＝?22?1?x?22,f3?x?＝x?23?1?x?23, fxx4?x?＝?24?1?x?24,…,fn?x???2n?1?x?2n. 15.【答案】①②
【解析】①②都正确；③⑥错误,∵向量不能相除； ④可由数量积定义判断,∴错误； ⑤向量中结合律不成立,∴错误. 2216.【答案】
n?n?1?4
【解析】由条件可知：13?12,13?23?9?32?(1?2)2,
13?23?33?36?62?(1?2?3)2, 2,不难得出13?23?33??n3?(1?2?3??n)2???n?n?1??n2?n?1?. ?2???4
三、解答题.
17.【答案】(1)6,16,25,25,16,6；(2)2,4,7,11；(3)an＋1?an?n.
【解析】由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和,且每一行的首末两数都等于行数. (1)6,16,25,25,16,6.
(2)a2?2,a3?4,a4?7,a5?11. (3)∵a3?a2?2,a4?a3?3,a5?a4?4, 由此归纳：an＋1?an?n. 18.【答案】见解析.
【解析】设x1,x2是??1,???上的任意两实数,且x1?x2, 则f?xx1x?21??f?x2??a?1x?1?ax2?x2?2x 12?1?ax1?ax2?x1?2?x2?2?ax13?x1?x2?x?1x?1?ax2??x. 121?1??x2?1?
∵a?1,且x11?x2,∴ax?ax2,x1?x2?0.
又∵x1??1,x2??1,∴(x1?1)(x2?1)?0,∴f?x1??f?x2??0, ∴f?x1??f?x2?.∴函数f?x?在??1,???上为增函数. 19.【答案】见解析.
类似的性质为：若M、N是双曲线x2y2【解析】a2?b2?1上关于原点对称的两个点,
点P是双曲线上任意一点,若直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN, 那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.
证明如下：设点M、P的坐标为?m,n?、?x,y?,则N(?m,?n).
∵点M(m,n)在已知双曲线上,∴n2
＝b2222
b222a2m－b.同理y＝a2x－b.
y－ny＋ny2－n2b2x2－m2kb2则PM·kPN＝x－m·x＋m＝x2－m2＝a2·x2－m2＝a2 (定值).
20.【答案】见解析.
【解析】要证(a＋b)－
1＋(b＋c)－
1＝3(a＋b＋c)－
1,
即证
1a?b?1b?c?3a?b?c, 只需证a?b?ca?b?a?b?cb?c?3. 化简得
ca?b?ab?c?1, 即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c), ∴只需证c2＋a2＝b2＋ac.
∵△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,
∴B＝60°,∴cosB＝a2?c2?b21
2ac＝2,
即a2＋c2－b2＝ac成立.
∴(a＋b)－
1＋(b＋c)－
1＝3(a＋b＋c)
－1
成立.
21.【答案】(1)an＝2n＋2－1,Sn＝n(n＋2)；(2)见解析. 【解析】(1)设等差数列公差为d,则3a3×2
1＋2d＝9＋32,
解得d＝2,∴an＝1＋2＋(n－1)×2＝2n＋2－1,
Sn＝1?2?2n?2?1n＝n(n＋2). 2Sn(2)bn＝＝n＋2.用反证法证明.
n设bn,bm,bk成等比数列(m,n,k互不相等),
2
则bnbk＝bm,即(n＋2)(k＋2)＝(m＋2)2,
整理得：nk－m2＝2(2m－n－k),左边为有理数,右边是无理数,矛盾, 故任何不同三项都不可能成等比数列. 22.【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】(1)f ′(x)＝(x－1)(ex－1),
当x＜0或x＞1时,f ′(x)＞0,当0＜x＜1时,f ′(x)＜0, ∴f(x)在(－∞,0),(1,＋∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
5当x＝0时,f(x)有极大值f(0)＝0,当x＝1时,f(x)有极小值f(1)＝－e.
211x3
(2)设g(x)＝f(x)－x3＋x,则g′(x)＝(x－1)(ex－－),
6222x31
令u(x)＝ex－－,则u′(x)＝ex－,
222
1
当x≥1时,u′(x)＝ex－>0,u(x)在[1,＋∞)上单调递增,u(x)≥u(1)＝e－2>0,
2x311
∴g′(x)＝(x－1)(ex－－)≥0,g(x)＝f(x)－x3＋x在[1,＋∞)上单调递增.
22621117
g(x)＝f(x)－x3＋x≥g(1)＝－e>0,
62611
∴f(x)>x3－x.
62
人教版高中数学选修2-2第二章推理与证明单元测试(一)及参考答案
