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直线和圆
一．直线
1．斜率与倾斜角：k?tan?，??[0,?) （1）??[0,?2（2）??)时，k?0；
???2时，k不存在；（3）??(?2,?)时，k?0
（4）当倾斜角从0增加到90时，斜率从0增加到??；
当倾斜角从90增加到180时，斜率从??增加到0 2．直线方程
（1）点斜式：y?y0?k(x?x0) （2）斜截式：y?kx?b
??（3）两点式：
y?y1x?x1?
y2?y1x2?x1（4）截距式：
xy??1 ab（5）一般式：Ax?By?C?0 3．距离公式
(x2?x1)?(y2?y1) （1）点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)之间的距离：PP12?（2）点P(x0,y0)到直线Ax?By?C?0的距离：d?22|Ax0?By0?C|A?B22
（3）平行线间的距离：Ax?By?C1?0与Ax?By?C2?0的距离：d?4．位置关系
（1）截距式：y?kx?b形式
重合：k1?k2 b1?b2 相交：k1?k2 平行：k1?k2 b1?b2 垂直：k1?k2??1 （2）一般式：Ax?By?C?0形式
重合：A1B2?A2B1且A1C2?A2C1且B1C2?C1B2 平行：A1B2?A2B1且A1C2?A2C1且B1C2?C1B2
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|C1?C2|A?B22
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垂直：A1A2?B1B2?0 相交：A1B2?A2B1 5．直线系
A1x?B1y?C1＋（?A2x?B2y?C2）?0表示过两直线l1:A1x?B1y?C1?0和l2:A2x?B2y?C2?0交点的所
有直线方程（不含l2） 二．圆 1．圆的方程
（1）标准形式：(x?a)?(y?b)?R（R?0）
22（2）一般式：x?y?Dx?Ey?F?0（D?E?4F?0）
22222?x?x0?rcos?（3）参数方程：?（?是参数）
y?y?rsin?0?【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.
（4）以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程是：(x?xA)(x?xB)?(y?yA)(y?yB)?0 2．位置关系
（1）点P(x0,y0)和圆(x?a)?(y?b)?R的位置关系：
222222当(x0?a)?(y0?b)?R时，点P(x0,y0)在圆(x?a)?(y?b)?R内部 222222当(x0?a)?(y0?b)?R时，点P(x0,y0)在圆(x?a)?(y?b)?R上 222222当(x0?a)?(y0?b)?R时，点P(x0,y0)在圆(x?a)?(y?b)?R外
222（2）直线Ax?By?C?0和圆(x?a)?(y?b)?R的位置关系： 判断圆心O(a,b)到直线Ax?By?C?0的距离d?当d?R时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d?R时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d?R时，直线和圆相离（无交点）； 判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．
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222|Aa?Bb?C|A?B22与半径R的大小关系
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3．圆和圆的位置关系
判断圆心距d?OO12与两圆半径之和R1?R2，半径之差R1?R2（R1?R2）的大小关系 当d?R1?R2时，两圆相离，有4条公切线； 当d?R1?R2时，两圆外切，有3条公切线；
当R1?R2?d?R1?R2时，两圆相交，有2条公切线； 当d?R1?R2时，两圆内切，有1条公切线； 当0?d?R1?R2时，两圆内含，没有公切线； 4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减 5．弦长公式：l?2R2?d2
例1若圆x＋y＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．
2
解析：由题意知 ＞1，解得－3＜k＜3. 2
1＋k答案：(－3， 3)
2222
例2已知两圆C1：x＋y－2x＋10y－24＝0，C2：x＋y＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．
解析：两圆相减即得x－2y＋4＝0. 答案：x－2y＋4＝0
22
例3设直线x－my－1＝0与圆(x－1)＋(y－2)＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是________．
|1－2m－1|3
解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x－my－1＝0的距离d＝4－3＝1，即＝1，解得m＝±. 2
31＋m答案：±3
3
2
2
22
例4若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x＋y＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．
解析：由题意可知圆C：x＋y＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为2 2
2
4－?
?c?222
22?，由于a＋b＝?a＋b?
c2，所以所求弦长为23.
答案：23
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高中数学直线和圆知识点总结汇总
