高中数学2.2.2反证法课时作业(含解析)新人教A版选修12

高中数学2.2.2反证法课时作业（含解析）新人教A版选修12

知识点一 反证法的概念 1.反证法是( )

A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法 B．对其否命题的证明 C．对其逆命题的证明 D．分析法的证明方法 答案 A

解析 由反证法的定义可知A正确，故选A.

2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( ) ①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等； ④原结论．

A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 答案 C

解析 根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中应把“结论的否定”“已知条件”“公理、定理、定义”等作为条件使用.

知识点二 反证法的步骤 3.有下列叙述：

①“a>b”的反面是“ay或x

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案 B

解析 ①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．

4．在用反证法证明“已知：p＋q＝2，求证p＋q≤2”时的反设为__________，得出的矛盾为__________．

答案 p＋q>2 (q－1)<0 解析 假设p＋q>2，则p>2－q. ∴p>(2－q)＝8－12q＋6q－q. 将p＋q＝2代入得：6q－12q＋6<0， ∴(q－1)<0，显然不成立．∴p＋q≤2. 知识点三 用反证法证明命题

5.已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．

证明 假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，两边同时平方，得a＋c＋2ac

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＝4b.

把b＝ac代入a＋c＋2ac＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，

2

c不成等差数列矛盾．

所以a，b，c不成等差数列. 易错点 反设错误或不全面致错

6.已知x，y∈R且x＋y＝0，求证：x，y全为零．

易错分析 本题中易出现反设错误而致错，x，y全为零的否定应为x，y不全为零，即至少有一个不是零．

证明 假设x，y不全为零，则有以下三种可能： (1)x＝0，y≠0，则x＋y>0，与x＋y＝0矛盾； (2)x≠0，y＝0，则x＋y>0，与x＋y＝0矛盾； (3)x≠0，y≠0，则x＋y>0，与x＋y＝0矛盾． 故假设不成立，则x，y全为零．

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一、选择题

1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A．有一个解 C．至少有三个解 答案 C

解析 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.

2．用反证法证明命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程ax＝b(a≠0)( )

A．无解 C．至少有两解 答案 D

解析 “唯一”的否定上“至少两解或无解”．

3．设a，b，c是正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“P·Q·R>0”是“P，

B．有两解

D．无解或至少有两解 B．有两个解 D．至少有两个解

Q，R同时大于零”的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 答案 C

解析 必要性显然成立．充分性：若P·Q·R>0，则P，Q，R同时大于零或其中两个负的一个正的，不妨设P<0，Q<0，R>0.

∵P<0，Q<0，即a＋b

∴a＋b＋b＋c

∴b<0，这与a，b，c都是正数矛盾， 故P，Q，R同时大于零．

4．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( ) A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形 D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形 答案 D

解析 因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是锐角三角形．

假设△A2B2C2也是锐角三角形，并设cosA1＝sinA2，则cosA1＝cos(90°－∠A2)， 所以∠A1＝90°－∠A2.

同理设cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，则有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2. 又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，

∴(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°，即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾， 所以原假设不成立．故选D. 二、填空题

5．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．

答案 a≠1或b≠1

解析 “a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1. 6．用反证法证明“一个三角形不能有两个钝角”有三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个钝角．

③假设△ABC中有两个钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°. 上述步骤的正确顺序为__________． 答案 ③①②

解析 根据反证法知，上述步骤的正确顺序应为③①②.

7．若下列两个方程x＋(a－1)x＋a＝0，x＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是__________．

答案 {a|a≤－2或a≥－1}

解析 假设两个一元二次方程均无实根，则有

??Δ1＝?

?Δ2＝?

22

22

2

2

a－1

2a－4a<0，

－4－2a<0，

??3a＋2a－1>0，

即?2

?a＋2a<0，?

2

解得{a|－2