电势差与电场强度的关系

电势差与电场强度的关系

【学习目标】

1、理解匀强电场中电势差跟电场强度的关系U=Ed 2、会用U=Ed或E?U解决有关问题 d【要点梳理】

要点一、电势差与电场强度的关系

1．关系式推导

如图所示，在匀强电场力作用下，电荷q从A点移动到B点．

静电力做功WAB与UAB的关系为WAB＝qUAB，因为匀强电场中电场强度处处相等．所以电荷q所受静电力F＝qE是一个恒力，它所做的功为WAB＝Fd＝qEd． 比较功的两个计算结果得：UAB＝Ed 2．匀强电场中电势差与电场强度的关系

(1)匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积． (2)公式：UAB＝Ed．

要点诠释：

(1)此公式只适用于匀强电场．

(2)公式中d必须是沿场强方向的距离．当电场中的两点不在同一条电场线上时，d应为两点在场强方向上的投影的距离，亦为电场中的两点所在的等势面的垂直距离．

U可以定性分析某些问题．例如等差等势面E越大，d越小，因此可d以断定等差等势面越密的地方电场强度越大．如图所示，在点电荷的电场中有A、B、C三点，AB?BC，

U要求比较UAB与UBC的大小时，可以利用E?即U＝Ed定性说明．AB段电场强度EAB比BC段电场强

d (3)对于非匀强电场，用公式E?度EBC大，故UAB＞UBC．

要点二、电场强度的另一种表述

1．表述：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点间沿电场强度方向距离的比值． 2．公式：E?UAB d 3．数值：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势． 4．单位：伏特每米(V/m)，且1V/m＝1N/C． 要点诠释：

(1)电场强度的方向就是电势降低最快的方向，只有沿场强方向，在单位长度上的电势差最大，也就是说电势降低最快的方向为电场强度的方向．但是，电势降落的方向不一定是电场强度的方向． (2)电场线与等势面处处垂直，并且电场线由高等势面指向低等势面．

(3)在同一幅图中，等差等势面越密(即相邻等势面间距越小)的地方，场强越大．如图中左、右两端与上、下两部分比较就很明显．

(4)电场强度与电势无直接关系．因为电场中某点电势的值是相对选取的零电势点而言的，选取的零电势点不同，电势的值也不同，而场强不变，零电势可以人为选取，而场强是否为零则由电场本身决定．初学者容易犯的一个错误是把电势高低与电场强度大小联系起来，误认为电场中某点电势高，场强就大；某点电势低，场强就小．

要点三、 电场强度、电势和电势差的比较 物理量 内容 电势? 电场强度E 电势差U 项目 第 1 页

定义 放入电场中某一点的电荷受到的电场力跟它的电荷量的比值 电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值 在电场中两点间移动电荷时，电场力所做的功跟电荷量的比值 定义式 区别 方向 E?F q??Epq U?标量，无方向 W q规定为正电荷在该点所受电场力的方向 数值上等于单位电荷受到的力 标量，无方向 数值上等于单位正电荷具有的电势能 数值上等于单位正电荷从一大小 点移到另一点时，电场力所做的功 物理意义 描述电场的力的性质 描述电场的能的性质 描述电场的能的性质 ①场强的方向是电势降落最快的方向，但电势降落的方向不一定是场强的方向 ②电势与场强大小之间不存在任何关系，电势为零的点，场强不一定为零；电势高的地方，场强不一定大；场强为零的地方，电势不一定为零；场强大的地方，电势不一定高 联系 U③场强的大小等于沿场强方向每单位长度上的电势降落，即E?或U＝Ed(匀强电场) d④电势差等于电场中两点电势间的差，即Uab??a??b 要点四、 电场强度的三个公式的区别 区别 物理含义 公式 引入过程 适用范围 FE? q是电场强度大小的定义式 F∝q，F与F、q无关，q适用于一切电场 是反映某点电场的性质 是真空中点电荷场强的决定式 是匀强电场中场强的决定式 由E?E?kQ 2rUE? dF在真空中，场源电荷Q是点和库仑定律导出 电荷 q匀强电场 由F＝qE和W＝qU导出 说明：在选取物理公式时一定要注意公式的适用条件，应用时还要理解公式中各量的物理意义．

要点五、用“等分法”计算匀强电场中的电势

在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距两点间的电势差相等．如果把某两点间的距离等分为n段，则每段线段两端点的电势差等于原电势差的1/n倍，像这样采用这种等分间距求电势的方法，叫做等分法．

要点诠释：

(1)在已知电场中几点的电势时，如果要求其他某点的电势，一般采用“等分法”在电场中找与待求点的电势相同的等势点．等分法也常用在画电场线的问题中．

(2)在匀强电场中，相互平行的相等的线段两端点电势差相等，用这一点可求解电势． 【典型例题】

类型一、匀强电场中电场强度与电势差的关系

例1、关于匀强电场中场强和电势差的关系，下列说法正确的是( ) A．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积 B．沿电场线方向，任何相同距离上电势降落必定相等 C．电势降低的方向必是场强方向

D．在相同距离的两点上，电势差大的其场强也大

【思路点拨】正确理解匀强电场中场强与电势差的关系，注意场强的方向是电势降低“最快的”方向。 【答案】 B

【解析】本题的关键是理解匀强电场中场强与电势差的关系，公式E?U中，d是沿场强方向上两点的距d第 2 页

离，由此很容易判断出A错，D错，B项正确．场强的方向是电势降低“最快的”方向而不是指电势降低的方向，故C项错误．

【总结升华】正确理解公式U＝Ed或E?U中各物理量的物理含义，特别是d的物理意义，是分析场强d与电势差关系的关键． 举一反三

【变式】下列关于匀强电场中场强和电势差的关系，正确的说法是( ) A．在相同距离上的两点，电势差大的其场强也必定大 B．场强在数值上等于每单位距离上的电势降落

C．沿着电场方向，任何相同距离上的电势降落必定相等 D．电势降低的方向必定是电场强度的方向 【答案】C

【解析】选项A、B的错误在于对d的错误理解，d应为沿场强方向的距离．选项D的错误在于忽视了电势降低的方向有很多，不同方向的电势降落快慢程度可能不同．

E?类型二、用U＝Ed或

Ud定性分析非匀强电场中的场强与电势差的关系

例2、如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为?a??50V，?b??20V，则a、b连线的中点c的电势?c应为( ) A．?c??35V B．?c??35V C．?c??35V D．无法判断 【答案】 B

【解析】由图可知，这是一个非匀强电场，且Eb?Ea．若此电场为匀强电场，则?c??35V．而此电场中Eb?Ec?Ea，即从b到c的过程中每单位距离上的电势降低要比从c到a的过程中每单位距离上的电势降低慢．故?c??35V．因而正确答案为B．

【总结升华】此题是讨论电势的降低与电场强度的关系，而电场强度的大小是通过电场线的疏密表示的，由此判断bc间的电势降低比ca间的电势降低慢．因为电场中电势为负值，容易错选C项． 举一反三

【变式】如图所示，四种典型电场中分别有a、b、c三点

(1)试在甲乙丙丁四幅图中比较以下物理量(用等式或不等式表示三者关系)

①a、b、c三点场强大小的关系：甲________，乙________，丙________，丁________；

②a、b、c三点电势的关系：甲________，乙________，丙________，丁________。 (2)试在甲乙丙丁四幅图中判断以下过程中移动正电荷，电场做功的情况(填“正功”、“负功”或“不做功”) ①a→c过程中：甲________，乙________，丙________，丁________； ②a→b过程中：甲________，乙________，丙________，丁________。

(3)在以上分析的基础上，判断以下说法中正确的是 ( )

A．在静电场中沿电场线方向的各点的电势一定降低，场强大小一定不相等

B．在静电场中沿电场线方向的各点的电势一定降低，场强大小不一定相等 C．在静电场中同一等势面上各点电势一定相等，场强大小不一定相等

第 3 页

D．在静电场中，点电荷q沿任意路径从a点移至b点，只要a、b在同一等势面上，电场力做功就一定为零

【答案】（1）①Ea?Eb?Ec，Ea?Eb?Ec，Ea?Eb?Ec，Ea?Eb?Ec （2）①不做功，负功，正功，负功

②正功，不做功，正功，先负功后正功（总功为零） (3)BCD

U?类型三、

Wq和U＝Ed的综合应用

?10例3、匀强电场中有A、B、C三点构成等边三角形，边长均为4cm，将一带电荷量q?1.0?10?9C的正

电荷(不计重力)，从A点移到C点，电场力做功为?3?10J，若把同一电荷从A点移到B点，电场力做功也为?3?10J，那么该电场的场强是多大?

【思路点拨】利用题目所给对称性做出示意图，并关注电势差的标量性和电场强度的矢量性。 【答案】5×102 V/m

【解析】如图所示，把正电荷从电场中的A点分别移到C点或B点，电场力做的功相同，根据W＝qU可知，B、C两点电势相同，在同一等势面上，由于电场中的等势面与电场线垂直，可见A点与BC等势面在场强方向的距离

A、B两点的电势差UAB?9W?3?10?9??V??103V． ?10q1.0?10 该电场的电场强度E?U1032?V/m?5?10V/m． ?2d23?10【总结升华】 (1)U?W是标量式，计算时各量的正、负号要代入式中． q (2)在E?U中，E是矢量，U是标量，U可能是正值也可能是负值，计算场强时，电势差U取绝对d值，不带符号．

(3)本题亦可用W＝qEd直接来求解． 举一反三

【变式】如图所示匀强电场中只有a、b、c三点．在以它们为顶点的三角形中，∠a＝30°，∠c＝90°．电场方向与三角形所在平面平行．已知a、b和c点的电势分别为(2?3)V、(2?3)V和2V．该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为( )

A．(2?3)V、(2?3)V B．0V、4V

??43?43?V、?2?V D．0V、23V C．?2???????3?3???【答案】 B

【解析】在匀强电场中，沿某一方向电势是均匀变化的．由?a?(2?3)V，?b?(2?3)V知，在匀

第 4 页

强电场中连线ab的中点O处电势?O??a??b2?2V，又?c?2V，所以连线Oc是一条等势线，过O点

作Oc的垂线即是一条电场线，如图所示．由题知电场线E与圆的交点d处电势最低，且有

?O??dR??O??aRgcos30°，解得?d?0V，同理知点e处电势最高，?e?4V．

类型四、用“等分法”求解匀强电场中的电势

例4、如图甲所示，ABCD是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别是?A?15V，

?B?3V，?C?-3V，由此可以推断D点电势?D是多少伏?

【答案】9V

【解析】解法一：因为等势面跟电场线垂直，匀强电场的等势面和电场线都是等间距的平行的直线，所以可以先选取一条直线，在直线上找出与A、B、C、D四点对应电势相等的点，由此确定与D点等势的点，从而确定D点的电势．

根据A、B、C三点电势的特点，连接AC并在AC连线上取三分点M、N两点，使AM＝MN＝NC，如图乙所示，尽管AC不一定是场强方向，但可以肯定AM、MN、NC在场强方向上的投影长度相等．由U＝Ed可知，UAM?UMN?UNC??A??C3?15?(?3)V?6V． 3 由此可知，?N?3V，?M?9V，B、N两点在同一等势线上，根据几何知识不难证明MD平行于BN，即MD也为等势线，所以?D??M?9V．

解法二：在匀强电场中，任何一条直线上两点间(等势面除外)的电势差一定与这两点间的距离成正比．

如图丙所示，连接AC、BD交于O点则有UAO?UOC，UBO?UOD． 所以?D?2?O??B?2?6V?3V?9V．

解法三：由匀强电场的特点知，在匀强电场中，相互平行的相等的线段的两端点电势差相等．故有

UAB?UDC??A??B??D??C，所以?D?9V．

【总结升华】 本题是一道全国高考题，不失为灵活考查匀强电场中的场强与电势差关系的一道好题，据匀强电场的特点，用等分法又不失为快速而准确求解本题的好方法． 类型五、电场线与等势面的综合问题

例5、如图所示，A、B、C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20cm，把一个电荷

?3量q?10C的正电荷从A移到B，电场力做功为零，从B移到C，电场力做功为?1.73?10J，则该匀

?5强电场的场强大小和方向是( ) A．865 V/m，垂直AC向左 B．865 V/m，垂直AC向右 C．1000 V/m，垂直AB斜向上 D．1000 V/m，垂直AB斜向下

【思路点拨】理清电场线、等势面、电场力做功、电势差、等概念，搞清楚电场线与等势面的关系、场强与电势差的关系、电场力做功与电势差的关系等． 【答案】D

【解析】考查匀强电场电场线、等势面、电场力做功、场强与电势差之间的关系．把电荷q从A移到B，

第 5 页