第2节 两直线的位置关系
考试要求 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
知 识 梳 理
1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.特别地，当直线l1，
l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组?解一一对应.
相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行?方程组无解； 重合?方程组有无数个解. 3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝（x2－x1）＋（y2－y1）. 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x＋y. (2)点到直线的距离公式
|Ax0＋By0＋C|平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. A2＋B2(3)两条平行线间的距离公式
2222??A1x＋B1y＋C1＝0，??A2x＋B2y＋C2＝0
的
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|C1－C2|一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝22. A＋B4.对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0).
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有
y′－y??x′－x·k＝－1，
可求出x′，y′. ?y′＋yx′＋x??2＝k·2＋b，
000
0
[常用结论与微点提醒] 1.两直线平行的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0). 2.两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 3.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1∥l2.( ) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( ) 解析 (1)两直线l1，l2有可能重合.
(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(老教材必修2P114A10改编)两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为( )
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23A. 523B. 10
C.7
7D. 2
解析 由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的|11＋24|7距离为＝.
36＋642答案 D
3.(老教材必修2P110B1改编)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则
m的值为________.
解析 由?
??y＝2x，
??x＝1，
得?
???x＋y＝3，?y＝2.
∴点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0， 即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9. 答案 －9
4.(2019·郑州调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝( ) A.2
B.－3
C.2或－3
D.－2或－3
2m＋14
解析 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或
m3－2－3. 答案 C
5.(2020·南昌重点中学联考)已知直线l1：y＝2x，则过圆x＋y＋2x－4y＋1＝0的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为________.
解析 由题意可知圆的标准方程为(x＋1)＋(y－2)＝4，所以圆的圆心坐标为(－1，2)，由11
已知得直线l2的斜率k＝－，所以直线l2的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋2y－3＝0.
22答案 x＋2y－3＝0
4
6.(一题多解)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动
2
2
2
2
x点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________. 4??解析 法一 由题意可设P?x0，x0＋?(x0>0)， x?
0
?
则点P到直线x＋y＝0的距离d＝
?x0＋x0＋4??2x0＋4?2??x0?x0?????
2
＝2
≥
2x0·2
4
4
＝4，当且仅当2x0＝，x0
x0
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2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第2节两直线的位置关系教学案含解析新人教A版20200901180
