“等效电压源”的方法及应用

“等效电压源”的方法及应用

张阿兵

一.等效电源：一个含有电源的二端网络就可以等效为一个电源（等效电压源）。

戴维南定理（又叫等效电压源定理），这是一个用简单的有源二端网络替换复杂的有源网络的定理，定理内容如下：

一个有源二端线性（电阻）网络可用一个等效电压源来代替（恒压源与一个电阻的串联来等效替换），恒压源的电动势E等于该网络的开路电压U，串联电阻的阻值r等于该网络的输入电阻。 “开路电压”是指将负载从电路上断开后，a、b间的电压；

“输入电阻”是指把网络内部所有电动势看作零，但保留其全部电阻，从网络两端点看到的等效电阻； “有源二端网络”是指有两个输出端点的内部含有电源和电阻的电路。

二.把握等效电源法应用的前提条件

将复杂有源电路转化为等效电路时，等效电源的内电阻

必须是定值的

有源二端网a 等效R 为 a r E b R b 图1

三．高中阶段根据实际情况，有源二端网络可分为4种基本网络。

1． 电源（电动势E，内阻r）和一个定值电阻R串联组成一个等效电源如图2：

根据等效电源定理：等效电源的电动势E的数值，等于当外电路断开时的路端电压。所以上图中，当AB外电路断开时没有形成闭合回路；电路中没有电流，电阻R及内阻r上都不会分压，所以等效电源的电动势就等于原来电源的电动势。E'?E

A R E,r 图2

B 等效电源的内阻r等于该有源电路除源后的等效的电阻值。我们除去电源（即E=0，不提供电压）只看

AB间的电阻，r'?r?R

也可这样理解：（这样讲更符合高中生的知识水平）根据闭合电路欧姆定律，当外电路断开时，其路端电压等于电动势。我们就让上面的组合电源的外电路断开，显然此时它的路端电压就是E，所以等效电源的等效电动势就是E'?E；同理，当外电路短路时，电路中电流达到最大，而电动势和最大电流的比值就是内电阻，可以推得等效电源的内电阻为r'?r?R 2． 电源和一个定值电阻R并联组成一个等效电源如图3： 当AB外电路断开时，E'?UABR?E R?rE,r R B 图3

rRA 除去电源时AB间是电阻R和r并联，所以等效电源的等效内阻为r'? R?r第 1 页 共 4 页 1

也可这样理解：先让外电路断开，等效电源的就是R两端的电压，所以E'?UAB?外电路短路，最大的放电电流为3．电源串联组合成等效电源

RE；再让R?rErR，所以等效电源的等效内阻为r'?；

R?rr用上面的办法可求出等效电动势为各电源电动势之和；等效内阻为各电源内阻之和。 4．电源并联组合成等效电源

以两个相同电源（E，r）为例：（电动势不同的电源，中学阶段不做要求，因此在这里只研究最简单的情况）如图4所示。

等效电动势为E，等效内阻为r/2。若是n个相同的电源并联，则电动势仍然为E，等效内阻为 r/n。 四．“等效电源”的应用

1.在解决电源的最大输出功率方面的应用

电源最大输出功率的推导

已知如图1所示的闭合电路中，电源的电动势为E，内阻为r，外电路电阻R为可变电阻，求当R为何值时电源有最大输出功率，输出功率为多少？

推导：电源的输出功率就是可变电阻消耗的功率。设电源的输出功率为P，则有：

图4

E r R E r E r/2 R E2RE2RE2P???22(R?r)(R?r)?4Rr(R?r)2?4rR

由此式得，当外电路的电阻R等于电源的内阻r时其输出功率最大为

图5

PmaxE2?4r。

例：如图6所示，电源电动势E=2V，内阻r=1Ω，定值电阻R0=2Ω，变阻器R的阻值变化范围为0～10Ω，求：

（1） 变阻器R的阻值为多大时，R0消耗的功率最大？

（2） 变阻器R的阻值为多大时，R上消耗的功率最大？最大功率为多少？

E r R0 图6

R U2分析：此题第一问比较简单，要使R0消耗的功率P0=最大，由于R0

R是定值电阻，故R0两端的电压越大，R0消耗的功率P0越大。

而路端电压随着外电阻的增大而增大，所以当R=10Ω时，R0消耗的功率最大 但此题第二问如果用常规方法，则运算起来比较麻烦。

解析如下：由闭合电路的欧姆定律，得电路中的电流强度为I =

E，

R外?rRR0ER外ERR0ER?R0路端电压U=IR外===，

RR0RR0?r（R?R0）R外?r?rR?R0第 2 页 共 4 页

2

22RR0ER02E2U2R上消耗的功率为PR=== 22R（RR0?rR?rR0）[R（R0?r）?rR0]?4rR（0R0?r）R由上式可知当R（R0+r）—R0r=0即R=

22Ω时，PR达到最大值，其最大值为PR=W。 33可见这种解题方法太复杂，对运算能力要求高。 用等效电源法再来处理这个问题：

把图中的电源和R0看作一个新电源，此时等效电源的电动势:E'?R04E?V R0?r3等效电阻r'?rR02??， R0?r3它只对变阻器R供电，而当R外=r时，有P出的最大值。所以当R=

2rR02=Ω时，等效电源有最大输

R0?r3出功率,即R上获得了最大功率PR=

E等效4r等效=

2W。 3R1 E r R3 甲图

通过这个例题分析和求解可知，引入等电源之后可以起到化繁为简、化难为易的作用，学生分析和求解问题的能力会有较大的提高。 2.在电路分析中的应用

例：如图所示，R1、R2、R3为定值电阻，但阻值未知，Rx为电阻箱。当Rx为

R2 Rx

Rx1=10Ω时，通过它的电流Ix1=1A；当Rx为Rx2=18Ω时，通过它的电流Ix2=0.6A。则当Ix3=0.1A时，求电阻Rx3。

分析：电源电动势E、内阻r、电阻R1、R2、R3均未知，按题目给的电路模E＇ 型列式求解，显然方程数少于未知量数，于是可采取等效电源的方法。

将图甲中的虚线框内电路看成新的电源，则等效电路如图乙，电源的电动势为E＇，内电阻为r＇，根据闭合电路的欧姆定律得

r＇ 乙图

Rx

E＇=Ix1（Rx1+r＇） （1） E＇=Ix2（Rx2+r＇） （2） E＇=Ix3（Rx3+r＇） （3）

由（1）、（2）两式，得E＇=12V，r＇=2Ω，代入（3）式，可得Rx3=118Ω。 3.在测电源电动势及内阻实验分析中的应用

在测电源电动势及内阻的实验中对误差分析的要求比较高，学生对误差分析都比较畏惧。用“等效电源”的方法来分析该实验误差，那么难题就迎刃而解了。这个实验可采用的电路图有如下两种：

在用甲图的实验电路中，测出的实际上是以虚线框部分为等效电源的电动势和内阻，因为在欧姆定律中U和I分别表示的是路端电压和干路中的总电流，

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甲图

R V A R V A 乙图

3

只有把虚线框部分当作一新电源，电压表和电流表才满足要求。这种情况就是前面所涉及到的第二种等效电源，那么这个等效电源的电动势

E＇=

RVE=

RV?rEr1?RV?E 其等效内阻为Rv与r并联的总阻值即r＇=

RVr=

RV?rrr1?RV?r

显然从分析中的可知，实验的误差主要来自电压表的分流，由于中学实验器材容易满足Rv>>r,这样可以造成较小的实验误差，得到的测量值都比真实值小，因此教材中采用的是图甲所示的电路。

若用图乙所示的电路进行测量，则测出的实际上是虚线部分的等效电源的电动势E＇和内阻r＇，这种情况就是前面所涉及到的第一种等效电源。，那么这个等效电源的电动势E＇=E，其等效内阻为RA与r串联的总阻值即r＇=r+rA＞r

显然用图乙所示的电路来测量时，实验的误差主要来自电流表的分压，而测量的电动势虽然没有误差，但是在中学实验器材中电流表的内阻和电源内阻相差不大，这样会造成内阻的测量误差很大。因此实验时通常不采用乙图所示电路进行测量，但当要求测量的电动势为准确值而对内阻没有要求的话，用乙图比甲图更好。

由以上分析可知，等效电源方法在电路分析及实验分析中有着广泛的应用，在很多时候能够使复杂问题大大简化，我们应该认真掌握。 例题：如图9，电源的电动势E=10V，内阻不计。电阻R1?6?,R2?4?,

图9

R3?3?,R4?12?，R5?0.2?。求:通过R5的电流。

图10

这是一个非平衡电桥问题，属于复杂电路，要用基尔霍夫定律来求解，这已超出中学物理知识范围：但用等效电源法来处理，则可迎刃而解。

解：用等效电源法来求，将R5看作外电路，其余部分为等效电源。当外电路R5断路时(图10)，a、b两点问的电压就是等效电源的电动势E1

E1?Uab?4V

等效电源的内阻r1也就是a、b两点间的电阻(图11)

r1?4.8?

图11

由全电路欧姆定律，通过R5的电流也就是这个等效电源的总电流：

I5?

E1?0.8A

r1?R5第 4 页 共 4 页 4