高中数学讲义
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 教学设计（人教A
版）
课程目标
1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。 2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题． 3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养
1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系； 2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题； 3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集; 难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。
一、 情景导入
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、
预习课本，引入新课
1
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阅读课本50-52页，思考并完成以下问题
1. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系. 2.解一元二次不等方的步骤？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究
1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：
2.二等
2
判别式 2Δ>0 Δ=0 Δ<0 Δ=b-4ac 二次函数 2 y=ax+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax+bx+c=0 (a>0)的根 2有两相异 实根x1,x2 (x1
ax+bx+c>0 (a>0)的求解的算法.
2
(1)解ax+bx+c=0； (2)判断开口方向；
(3)根据开口方向和两根画草图；
2
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(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果； 不等式<0，看草图下方，写对应x的结果.
四、典例分析、举一反三
题型一 解不等式 例1 求下列不等式的解集 （1）（2）（3）
【答案】（1）解题方法（解不等式）
2
（2） （3）
(1)解ax+bx+c=0； (2)判断开口方向；
(3)根据开口方向和两根画草图；
(4)不等式>0，看草图上方，写对应x的结果； 不等式<0，看草图下方，写对应x的结果； 跟踪训练一
1、求下列不等式的解集 （1）（2）（3）
；
；
（4）
【答案】（1） （2）
（3）
（4）
3
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题型二 一元二次不等式恒成立问题 例2 (1). 如果方程ax2____________．
(2).已知关于x的不等式kx2?6kx?k?8?0对任意x?R恒成立，则k的取值范围是（ ） A．0?k?1 C．k?0或k?1
B．0?k?1 D．k?0或k?1
?bx?c?0的两根为?2和3且a?0，那么不等式ax2?bx?c?0的解集为
【答案】（1）?x|?2?x?3? （2）A
?b???2?3?1??b??a?a【解析】（1）由韦达定理得?，??，代入不等式ax2?bx?c?0，
?c??6a?c??2?3??6??a得ax2?ax?6a?0，Qa?0，消去a得x2?x?6?0，解该不等式得?2?x?3，
?bx?c?0的解集为?x|?2?x?3?，
因此，不等式ax2故答案为：?x|?2?x?3?.
（2）当k?0时，不等式为8?0恒成立，符合题意；
当k?0时，若不等式kx2?6kx?k?8?0对任意x?R恒成立， 则??36k?4k(k?8)?0，解得0?k?1；
当k?0时，不等式kx2?6kx?k?8?0不能对任意x?R恒成立。 综上，k的取值范围是0?k?1. 解题方法（一元二次不等式恒成立问题）
1、恒大于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方，从而确定的取值范围，进而求参数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零）
2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. 跟踪训练二
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1．已知不等式x2?x?a?0的解集为?x|x?3或x??2?，则实数a?__________.
2. 对任意实数x，不等式(a?3)x?2(a?3)x?6?0恒成立，则实数a的取值范围是____．
2
【答案】1、6 2、
【解析】1、由题意可知?2，3为方程x2?x?a?0的两根， 则?2?3??a，即a?6.故答案为：6
2、①当a?3?0，即a?3时，不等式为：?6?0，恒成立，则a?3满足题意 ②当a?3?0，即a?3时，不等式恒成立则需：
??a?3?0，解得：?2??4a?3?4a?3??6?0????????综上所述：
题型三 一元二次不等式的实际应用问题
例3 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：
.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
【答案】见解析
【解析】设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得 移项整理，得
.
对于方程画出二次函数y=
，=100>0，方程有两个实数根=50，=60. 的图像，结合图象得不等式
的解集为
.
{x|50 5
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 教学设计(2) Word版
