2024年中考数学复习题
25．（10分）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”． （1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；
（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值； （3）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．
①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；
②若a＞2b＞3c，x2=1，求点P（，）与原点O的距离OP的取值范围． 【分析】（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；
（2）把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t和k分别表示出y1、y2、y3，再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值； （3）①由直线解析式可求得x1=﹣，联立直线和抛物线解析式消去y，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x2+x3=﹣，x2x3=，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c=0，可得c=﹣（a+b），由a＞2b＞3c可求得的取值范围，令m=，利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP2的取值范围，从而可求得OP的取值范围． 【解答】解：
（1）不能，理由如下：
∵1、2、3的倒数分别为1、、， ∴+≠1，1+≠，1+≠
∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；
（2）∵M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数（k为常数，k≠0）的图象上，
∴y1、y2、y3均不为0，且y1=，y2=
，y3=
，
第 1 页 共 3 页
∴=，=，=，
∵y1，y2，y3构成“和谐三组数”， ∴有以下三种情况： 当
=
+
时，则=
+
，即t=t+1+t+3，解得t=﹣4；
当=+时，则=+，即t+1=t+t+3，解得t=﹣2；
当=+时，则=+，即t+3=t+t+1，解得t=2；
∴t的值为﹣4、﹣2或2； （3）①∵a、b、c均不为0， ∴x1，x2，x3都不为0，
∵直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0）， ∴0=2bx1+2c，解得x1=﹣，
联立直线与抛物线解析式，消去y可得2bx+2c=ax2+3bx+3c，即ax2+bx+c=0， ∵直线与抛物线交与B（x2，y2），C（x3，y3）两点， ∴x2、x3是方程ax2+bx+c=0的两根， ∴x2+x3=﹣，x2x3=，
∴+===﹣=，
∴x1，x2，x3构成“和谐三组数”； ②∵x2=1， ∴a+b+c=0， ∴c=﹣a﹣b， ∵a＞2b＞3c，
∴a＞2b＞3（﹣a﹣b），且a＞0，整理可得
，解得﹣＜＜，
第 2 页 共 3 页
∵P（，）
∴OP2=（）2+（）2=（
）2+（）2=2（）2+2+1=2（+）2+，
令m=，则﹣＜m＜且m≠0，且OP2=2（m+）2+， ∵2＞0，
∴当﹣＜m＜﹣时，OP2随m的增大而减小，当m=﹣时，OP2有最大值当m=﹣时，OP2有最小值，
当﹣＜m＜时，OP2随m的增大而增大，当m=﹣时，OP2有最小值，当m=时，OP2有最大值， ∴≤OP2＜且OP2≠1， ∵P到原点的距离为非负数， ∴
≤OP＜
且OP≠1．
，
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在（1）中注意利用和谐三数组的定义，在（2）中由和谐三数组得到关于t的方程是解题的关键，在（3）①中用a、b、c分别表示出x1，x2，x3是解题的关键，在（3）②中把OP2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．
第 3 页 共 3 页
2024年中考数学复习题 (63)
