(1)
如图，过点A1作A1D⊥OM，垂足为D. ∵△A1B1C1是等边三角形，A1D⊥OM﹣ ∴∠B1A1D=30°﹣
∴在Rt△A1DB1中， B1D?∵A1D=3﹣
∴在Rt△A1DB1中， A1D?∴B1D?3， A1B1?23.
1A1B1， 2A1B12?B1D2??2B1D?2?B1D2?3B1D?3，
∴点A1的坐标为(3, 3). 由直线l的解析式，得
当x=3时， y??3?3?4?3， 3∴点A1在直线l上.
(2) ∵△A1B1C1是等边三角形， A1B1?23， ∴BC11?23.
∴点C1的坐标为(23, 0).
设直线A1C1的解析式为y=kx+b (k≠0).
将点A1 (3, 3)，点C1 (23, 0)的坐标分别代入直线A1C1的解析式，得
{k?3?b?3k?23?b?0 ，
解之，得
{k??3b?6 ，
∴直线A1C1的解析式为y??3x?6.
(3) 点P的坐标为(33, 3)，(?3, 3)或(53, -3). 求解过程如下. 根据题意，分别对下面三种情况进行讨论.
①若以∠A1C1M为平行四边形的一个内角，则所求平行四边形为平行四边形A1C1MP. 如图①，过点A1作A1E⊥ON，垂足为E. 由直线l的解析式，得
当y=0时， ?3x?4?0， 3∴x=43.
∴点M的坐标为(43, 0).
∴OM=43.
∵BC11?A1B1?23，
∴C1M?OM?BC11?43?23?23，
∴A1P?C1M?23. ∵△A1B1C1是等边三角形， ∴∠A1B1C1=60°﹣
∴∠A1B1E=90°-∠A1B1C1=90°-60°=30°. ∴在Rt△A1EB1中， A1E?∵A1P∥C1M，A1E⊥ON﹣ ∴点E，A1，P在同一条直线上， ∴PE?A1E?A1P?3?23?33.
11A1B1??23?3， B1E?3. 22∴点P的坐标为(33, 3).
②若以∠A1MC1为平行四边形的一个内角，则所求平行四边形为平行四边形PC1MA1. ∵A1P∥C1M﹣ ∴A1F⊥ON﹣
∴在Rt△A1FB1中， A1F?11A1B1??23?3， B1F?3. 22∵A1P?C1M?23，
∴PF?A1P?A1F?23?3?3.
∴点P的坐标为(?3, 3).
③若以∠C1A1M为平行四边形的一个内角，则所求平行四边形为平行四边形A1C1PM. 如图③，过点P作PG⊥OM，垂足为G. ∵△A1B1C1是等边三角形， ∴∠A1C1B1=60°﹣
∴∠A1C1M=180°-∠A1C1B1=180°-60°=120°﹣
∵A1C1∥PM，
∴∠PMC1=∠A1C1M=120°﹣
∴∠PMG=180°-∠PMC1=180°-120°=60°﹣
∴在Rt△PMG中，∠MPG=90°-∠PMG=90°-60°=30°. ∵PM?AC11?A1B1?23， ∴在Rt△PGM中， MG?11PM??23?3， 2222PG?PM?MG?∵OM=43，
22?23???3??3.
∴OG?OM?MG?43?3?53.
∴点P的坐标为(53, -3).
综上所述，点P的坐标为(33, 3)，(?3, 3)或(53, -3).
23．小慧：定价为102元；小杰：8580元的销售利润不是最多，当定价为110元或111元时，销售利润最多，最多利润为9300元．
【解析】试题分析：小慧：设定价为x元，利润为y元，根据利润=（定价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，结合x的取值范围，求出当y取800时，定价x的值即可； 小杰：根据小慧中求出的函数解析式，运用配方法求最大值，并求此时x的值即可． 试题解析：解：小慧：设定价为x元，利润为y元，则销售量为：410﹣10﹣x﹣100﹣=1410﹣10x，由题意得，y=﹣x﹣80﹣﹣1410﹣10x﹣
=﹣10x2+2210x﹣112800，当y=8580时，﹣10x2+2210x﹣112800=8580，整理，得：x2﹣221x+12138=0，解得：x=102或x=119﹣﹣当x=102时，销量为1410﹣1020=390，当x=119时，销量为1410﹣1190=220﹣﹣若要达到8580元的利润，且薄利多销，﹣此时的定价应为102元；
221?18605?小杰：y=﹣10x2+2210x﹣112800=?10?x?，∵价格取整数，即x为整数，??2?2?∴当x=110或x=111时，y取得最大值，最大值为9300．
2答：8580元的销售利润不是最多，当定价为110元或111元时，销售利润最多，最多利润为9300元．
点睛：本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是根据题意找出等量关系列出函数关系式，要求同学们掌握运用配方法求二次函数的最大值． 24．（1）DE与⊙O相切，理由见解析；（2）EF?8 3【解析】试题分析：（1）连接圆心和切点，利用平行，OF﹣CB可证得﹣ODF=90°﹣
﹣2）过D作DH﹣BC于H，设BD=k﹣CD=2k，求得BD﹣CD的长，根据三角形的面积公式得到DH的长，由勾股定理得到OH的长，根据射影定理得到OD2=OH?OE，求得OE的长﹣从而得到BE的长，根据相似三角形的性质得到BF=2，根据勾股定理即可得到结论．
试题解析：解：（1）证明：如图，连接OD﹣BD﹣﹣AB是﹣O的直径，﹣﹣ADB=﹣90°﹣﹣BD﹣AC﹣ ﹣AB=BC﹣﹣AD=DC﹣﹣OA=OB﹣﹣OD﹣BC﹣﹣DE﹣BC﹣﹣DE﹣OD﹣﹣直线DE是﹣O的切线．
1，∴BC=10，设BD=k，CD=2k，∴2CD?BD22BC=5k=10，∴k=25，∴BD=25，CD=45，∴DH==4，∴OH=OD?DHBC2510=3，∵DE⊥OD，DH⊥OE，∴OD2=OH?OE，∴OE=，∴BE=，∵DE⊥AB，∴BF∥OD，
3310BFBFBE8∴△BFE∽△ODE，∴，即??3，∴BF=2，∴EF=BE2?BF2=．
25ODOE353（2）过D作DH⊥BC于H，∵⊙O的半径R=5，tanC=
点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质以及解直角三角形．当题中已有垂直时，证直线为圆的切线，通常选用平行来进行证明；而求相关角的余弦值，应根据所给条件进行适当转移，注意利用直角三角形面积的不同方式求解． 25．（1）BQ=CP；（2）成立：PC=BQ；（3）43?4．
2024中考数学模拟试题及答案解析(4)
