主题 高考学科素养专练
主题一 应变化·新题型专练
1.D 由题意知f (x)=∵f (x)=
??+1e|??|??
+1,令e|??|g(x)=e|??|,则g( - x)=e| - ??|=e|??|= - g(x),∴g(x)为奇函数,∵f (x)=e|??|+1的最大值为M,∴g(x)的最大值为M - 1,
?? - ?? - ????
的最小值为N,∴g(x)的最小值为N - 1.∵g(x)为奇函数,图象关于原点对称,故最大值和最小值互为相反数,∴M - 1+N - 1=0,∴M+N=2,故
??e
1 - ??
.当x∈(0,1)时,g'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,∴当x∈(0,1)时,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,g(x)单调递减,∴g(x)在e??111
g(1)=e,由于g(x)为奇函数,∴g(x)在x= - 1处取得最小值,最小值为g( - 1)= - e,∴f (x)的最大值为M=e+1,最小值为N= 1e+1 - 1e+1②错.当x>0时,g(x)=??,∴g'(x)=
x=1处取得最大值,最大值为
121??
- +1,M - N=,MN=1 - 2,eee??==
e+1
,故①③④正确.故选e - 1D.
2π2π
==π知①正确; ??21πππ5πππ1π
对于②,由f (x)=得2x - =2kπ+(k∈Z)或2x - =2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)或x=kπ+(k∈Z),可知f (x)=是x=的必要不充分条件,②不正确;
266666222π5πππ3ππ3π
对于③,由 3626222πππ??π 对于④,y=|f (x)|的图象向左平移个单位长度得y=|sin[2(x+) - ]|=|sin 2x|的图象,由y=|sin x|的图象的对称轴为直线x=(k∈Z)得y=|sin 2x|的 121262 ??π 图象的对称轴为直线x=(k∈Z),④正确.故选B. 4√311 3.C 对于①,三棱锥D - ABC的体积VD - ABC=S△ABC·h(h为点D到平面ABC的距离),S△ABC=×1×√3=,所以当h最大时,三棱锥D - ABC的 322√31√3√31 体积取得最大值,又当平面ADC⊥平面ABC时,h最大,为,此时VD - ABC=××=,故①错误;对于②,设AC的中点为O,连接OB,OD,则 2322414 OA=OB=OC=OD,所以O为三棱锥D - ABC的外接球的球心,则外接球的半径为2AC=1,所以外接球的体积为3π,翻折的过程中,三棱锥D - ABC2.B 对于①,由最小正周期T= 的外接球的体积不变,故②正确;对于③,三棱锥D - ABC的体积最大时,平面ADC⊥平面ABC,所以此时二面角D - AC - B的大小是90°,故③错误;对于④,当△ADC沿对角线AC翻折到点D与点B的距离为√2,即BD=√2时,在△BCD中,BC2=BD2+CD2,所以CD⊥BD,又CD⊥AD,BD∩AD=D,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,即异面直线AB与CD所成角的最大值为90°,故④正确.故选C. 4.C 如图D 1 - 1,连接OC, 图D 1 - 1 ∵AO为圆的直径,∴AC⊥OC.∵SO垂直于底面圆O,AC?底面圆O,∴AC⊥SO.∵SO∩OC=O,SO,OC?平面SOC,∴AC⊥平面SOC.又SC?平面 SOC,∴AC⊥SC,∴△SAC为直角三角形,故①正确.由于点D是圆O上的动点,∴平面SAD不总垂直于平面SBD,故②错误.连接DO并延长交圆O于点E,连接SE,PO,∵P为SD的中点,O为DE的中点,∴OP∥SE.又OP?平面PAB,SE?平面PAB,∴SE∥平面PAB,故③正确,故选C. 5.B ①中,对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说,k越大,判断“X与Y有关系”的把握越大,故①错误;②中,若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数,数据的离散程度不变,则样本的方差不变,故②正确;③中,根据残差的定义可知,在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越窄,预测值与实际值越接近,其模型拟合的精度越高,故③正确;④中,设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(ξ< - 1)=p,则 1 P( - 1<ξ<1)=1 - 2p,所以P( - 1<ξ<0)=2 - p,故④正确.综上所述,正确的是②③④,故选B. 6.C 因为21 - 1+22 - 1+…+210 - 1= 2 - 211210 - 1 - 10=2 036,所以10是{an}的第1 - 22 2 036项,所以①正确;因为Sn随着n的增大而增大,所以不存在常数 2?? +11+…+1122 (1+??)?? 2>1M,使得Sn 恒成立,所以②错误;S2 036=++…+222= 12 - 2111 ×( - 10)=1 018,所以③正确;由1121 - 22 = 211且m为正整 数,可得m≥64,又S2 036=1 018,所以满足不等式Sn>1 019的正整数n的最小值是2 036+64=2 100,所以④正确.综上,正确的是①③④,故选C. 7.2?? 2??+1( - 1)n+ 1 ??(??+1)因为an+an+1= 2 2 ??2+2??=? 1 1??1111111,所以S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n - 1+a2n=1 - +?+…+?=1 - ??+23352?? - 12??+12??+11 2 1 7 1 2 7 11 1 2 11 21 = 2?? . 2??+11 因为an+an+1= 2 ,所以??2+2??an+1=??2+2?? - an.又a1= - 2=1×2 - 1,所以a2=3+2=6=2×3+1,a3=2×4?6= - 12=3×4 - 1,a4=3×5+12=20=4×5+1,…, 归纳可得,an=( - 1)n+ 1 . ??(??+1)8.y2=8x 7 易知双曲线x2 - =1的右焦点F2的坐标为(2,0),左焦点F1的坐标为( - 2,0),则抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0),则=2,解得??2=8??, p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.设点P的坐标为(x0,y0),易知x0>0,由{2??2得3x2 - 8x - 3=0,解得x0=3,则P(3,2√6)或P(3, - 2√6),则点P与 ?? - =1 3 ??23??2 双曲线左焦点F1( - 2,0)之间的距离为√[3 - ( - 2)]2+(0±2√6)2=7. ????5 - r10 - 2??4 9.5 80 二项式(ax2+)5的通项公式为Tr+1=C5·(ax2)5 - r·()r=C5·a·??,令10 - r=0,解得r=4,所以常数项的二项式系数为C5=5,常数项 1√??1√??5 5245 - 4??5 - r10 - 2??T5=C5·a=10,得a=2,所以该二项式的通项公式为Tr+1=C5·2·??.由10 - 2r∈Z,0≤r≤5,r∈N,可得r=0或r=2或r=4,因此展开式中的所有有理23项为T1,T3,T5,其中最大的系数为C5·2=80. 5 5 主题二 提素养·数学文化 1.D 易知到2029年,中华人民共和国成立80周年.从1949年到2029年经过80年,且1949年为“己丑”年,80÷10=8,则2029年对应的天干为己;80÷12=6……8,则2029年对应的地支为酉.故选D. 【试题评析】 本题以我国独有的传统文化为背景命制,体现了周期在实际生活中的应用. 2.A 因为函数f (x)===== 所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (m+2 018) 22×22(??+2 018) ++…+ 3??+6 0573??+6 0573??+6 0572× (??+2 018)(1+??+2 018) 2 2??(m>0), 3??+6 0573??+6 057(??+2 018)(??+2 019) 3(??+2 019)??+2 018 . 3 故选A. 【试题评析】 本题以高斯算法为背景命制,传承了经典的数学文化. 3.C 设正方形的顶点分别为A,B,C,D,中心为O,四个圆的圆心分别为O1,O2,O3,O4,其中一个切点为E,连接AC,BD,O2E,如图D 2 - 1所示,设正方形的边长为2,4个圆的半径为r, 图D 2 - 1 则BE=O2E=O2O=r,所以BO2=√2r. 因为BO2+O2O=BO=BD=√2, 所以√2r+r=√2,得r=2 - √2. 将如图D 2 - 1中的阴影部分看作8个弓形,易得每一个弓形所对圆心角为, 则阴影部分的面积为8×[π×(2 - √2)2 ? ×(2 - √2)2]=4(3 - 2√2)(π - 2). 又正方形的面积为4,故所求概率C. 【试题评析】 剪纸是我国传统的民间工艺,它源远流长,经久不衰,是中国民间艺术中的瑰宝,已成为世界艺术宝库中的一种珍藏.本题以中国剪纸为背景,考查了几何概型概率的求法和数形结合思想. 4.A 设正八边形的边长为√2a,则其面积S=(2+√2)a×√2a+2×(√2a+2a+√2a)×a=(4√2+4)a2. 2又中间正方形的面积为2a2,故在题中示意图内随机取一点,此点取自阴影部分的概率P=2??2(4√2+4)??2114124(3 - 2√2)(π - 2)P==(3 - 2√2)(π - 2).故选4π2 12=√2 - 1 2.故选A. 【试题评析】 本题以中国传统建筑中的影壁为载体,考查了几何概型的概率求解、正八边形面积的求法等知识. 5.C 根据题意得,幻方对角线上的数成等差数列,则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加恰好等于1+n2. 根据等差数列的求和公式得Nn= 92??(1+??2) ,则2N9= 9×(1+92) =369.故选2C. 【试题评析】 幻方又称为魔方,它最早起源于我国,宋代数学家杨辉称之为纵横图.本题借助幻方考查等差数列的性质及求和公式. 18 - 2??=9 - x.由题可知上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,所以其体积2117??39991793975 V=6×3×[(3×2+x)×2+(2x+3)(9 - x)]= - x2+2+2,故当x=2时,体积取得最大值,最大值为 - (2)2+2×2+2=2.故选B. 6.B 设下底面的长为x(≤x<9),则下底面的宽为 7.A 将一个单位圆等分成180个扇形,则每个扇形的圆心角度数均为2°.因为这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积,所以180××1×1×sin 2°=90sin 2°≈π,所以sin 2°≈,所以选A. 12π90主题三 析情境·数学应用 1.C 2.5时=150分,42千米=42 000米,故该运动员每分的路程为符合题意.故选C. 【素养落地】 试题侧重考查数据处理、运算求解能力及应用意识,提升了考生的逻辑推理、数据分析、数学抽象及数学运算等核心素养. 2.C 根据题图中的曲线,通过计算可得A,B正确;题图中的柱状图表示全国高铁旅客运输量,根据数据得C错误,D正确.故选C. 3.C 设长和宽分别为x米,y米,则该垃圾桶的体积V=0.5xy米3,而0.5xy≤0.5×(积为1.2×1.2+0.5×1.2×4=3.84(米2),故选C. 【素养落地】 试题以生活中的垃圾分类为背景,考查空间几何体的表面积,侧重考查运算求解能力、空间想象能力及应用意识,考查了考生的数学抽象、直观想象及数学运算等核心素养. 4.C 解法一 由题可知∠ACB=72°,且cos 72°=2解法二 由正弦定理得C. 解法三 如图D 3 - 1,取BC的中点为D,连接AD, sin??sin∠?????? 1 42 000 =280(米),由题意及选项知,若每分的步数为150 180,则其步幅为 280 ≈1.56(米),180 ??+??2 )=0.72,当且仅当x=y=1.22时取等号,此时所需耗费铁皮的面 ???? ???? = √5 - 1 4 ,cos 144°=2cos272°- 1= - √5 - 1 √5+14 ,则sin 234°=sin(144°+90°)=cos 144°= - √5+14 .故选C. .故选 = ????sin36°,即????sin72° = sin36° 2sin36°cos36° = 2 ,得cos 36°=1√5 - 1=√5+14 ,则sin 234°=sin(270° - 36°)= - cos 36°= - √5+14 图D 3 - 1 由题意知∠BAC=36°,AB=AC,∴∠BAD=∠CAD=18°,AD⊥BC,∵ √5 - 1 ????????= √5 - 1 2,∴sin∠CAD= ????????= ???? ,即2????sin 18°= √5 - 1 4,∴sin 234°=sin(270° - 36°)= - cos 36°= - (1 - 2sin218°)=2sin218° - 1=2×( 4)2 - 1= - √5+14.故选C. ????????????????【素养落地】 试题考查三角函数求值,侧重考查推理论证能力、运算求解能力,考查了考生的逻辑推理、数学抽象等核心素养. 5.e6 - 1 ∵v=2 000·ln(1+),又火箭的最大速度可达12 000米/秒,∴12 000=2 000·ln(1+),可得ln(1+)=6,1+=e6,解得=e6 - 1. 【素养落地】 试题考查函数的应用,侧重考查运算求解能力、数据处理能力及应用意识,考查了考生的数学抽象、数学运算等核心素养. 6. 由题意知,得分之和为6分有以下三种情况:“男生得0分,女生得6分”,设为事件A;“男生得2分,女生得4分”,设为事件B;“男生得4分,女生得2分”,设为事件C. 33P(A)=22×??3×(3)=405;P(B)= ????2881C2C6 28 1C1C22C442221132×C×()×()=;P(C)=333135C2C266 1 ×??3×()1×()2=. 2 313445832428++=. 40513545812ππππ 7.①②④ 由题意可知函数f (t)的最小正周期T=60,所以=60,解得ω=,又从点A(3√3, - 3)出发,所以R=6,6sin φ= - 3,又|φ|<,所以φ= - ,故 ??3026ππππ5πππ ①正确;y=6sin(t - ),当t∈[35,55]时,t - ∈[π,],则sin(t - )∈[ - 1,0],y∈[ - 6,0],点P到x轴的距离为|y|,所以点P到x轴的距离的最大值为6, 3063063306πππ2ππππππππ 故②正确;当t∈[10,25]时,t - ∈[,],所以函数y=6sin(t - )在[10,25]上不单调,故③不正确;当t=20时,t - =,则 y=6sin=6,且x=6cos=0, 30663306306222故所选队员得分之和为6分的概率P=P(A)+P(B)+P(C)= 所以P(0,6),则|PA|=√(0 - 3√3)2+( - 3 - 6)2=6√3,故④正确.综上,正确的是①②④. 主题四 提能力·数学探究 1.D (1)对于A,?a1=a>0,an+1=(2)对于B,因为 ????+1 ???? ????1 +(n∈N*),所以2???? an>0,所以an+1≥2√2??×??=√2,当且仅当an=√2时等号成立,因此A不正确. ?? ??1=+ 1 21 ,由(1)可得,n≥2??2?? 时,an≥√2,所以 ????+1 ≤1,即an+1≤an,因此B???? 不正确. (3)易知C不正确. (4)对于D,由a1=a>0,an+1= 故选D. 【解后反思】 本题的亮点在于将数列与全称、特称命题交汇考查,主要考查了数列的递推关系、通项公式及方程与不等式的解法等,考查了逻辑推理能力与运算求解能力. 12232 由图象可知x1<0,所以A( - ,0). 3 3211 把y=1代入y= - x+x+1得x=0或x=. 2231 由图象可知x2>0,所以B(,1). 32π12π 所以f (x)的最小正周期T==4×(+)=4,解得ω=. ??3321π 把B(,1)的坐标代入f (x)的解析式得sin(+φ)=1, 36ππ 所以+φ=+2kπ,k∈Z, 62 π 所以φ=+2kπ,k∈Z. 3ππ 因为|φ|<,所以φ=. 23ππ 所以f (x)=sin(x+).故选C. 23????2+ 1 (n∈N*),得???? a2=2+??,令2+??=a,解得a=√2,则an=√2,因此D正确. ??1??1 2.C 把y=0代入y= - x2+x+1得x=1或x= - . 323.D 由题意构造函数g(x)=f (x) - 2x2+1, 则g ' (x)=f ' (x) - 4x>0,所以函数g(x)在R上为增函数. 因为f ()= - ,所以g()=f () - 2×()2+1=0. 又f (sin α)+cos 2α>0, π65π61212121212所以g(sin α)=f (sin α) - 2sin2α+1=f (sin α)+cos 2α>0=g(),所以sin α>, 因为0≤α≤2π,所以<α<, 所以不等式f (sin α)+cos 2α>0的解集为(,).故选D. 4.A 当0≤x<2时,f (x)=2x - x2=1 - (x - 1)2,可得f (x)的极大值点a1=1,极大值b1=1, 当2≤x<4,即0≤x - 2<2时,可得f (x)=3f (x - 2)=3[1 - (x - 3)2],可得a2=3,b2=3, 当4≤x<6,即0≤x - 4<2时,可得f (x)=9f (x - 4)=9[1 - (x - 5)2],可得a3=5,b3=9,…,即有a20=39,b20=319. 记S20=a1b1+a2b2+…+a20b20,则S20=1×1+3×3+5×9+…+39×319 ①, 3S20=1×3+3×9+5×27+…+39×320 ②, ① - ②得 - 2S20=1+2×(3+9+27+…+319) - 39×320=1+2×化简可得S20=19×320+1,故选A. 5.D 由题意知,AD⊥PD,MC⊥PC. 因为∠APD=∠CPM,所以Rt△PDA∽Rt△PCM. 又M为BC的中点,所以 ????????3×(1 - 319) - 39×320, 1 - 3 π5π661212= ???? =2,即????32PD=2PC,即PD2=4PC2. 32????? 的方向为x轴的正方向,???????? 在平面DCC1D1中,以DC的中点为坐标原点,以DC所在直线为x轴,DC的垂直平分线为y轴,以????????1的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系,则D( - ,0),C(,0). 设P(x ' ,y ' )( - ≤x ' ≤,0≤y ' ≤t),则(x ' +)2+(y ' )2=4(x ' - )2+4(y ' )2, 整理得(y' )2= - (x ' )2+5x ' - ,易知当x ' =时,y ' 取得最大值√3. 若0 3 23 ??,0√3.23√3. 2943232 32 32 32 所以V(t)为非奇非偶函数,故A错误; 函数V(t)在(0,+∞)上不是单调函数,故B错误; V(2)= 3√3,故2C错误;V(3)= 3√3,故2D正确.故选D. 12 ??2+??2 2 6.8 设AB=a,AC=b,AD=c,根据题意易知a2+b2+c2=16,S△ABC+S△ACD+S△ADB=(ab+bc+ac),∵ab≤当b=c时取等号),ac≤大值为8. 7.505 222设An(x0,y0),可得??0 ? ??0= (当且仅当a=b时取等号),bc≤ ??+??2 (当且仅2 2 ??2+??2 (当且仅当2a=c时取等号),以上三个式子相加得ab+bc+ac≤a2+b2+c2=16(当且仅当a=b=c时取等号),所以面积和的最 双曲线En:x2 - y2= ?? (n∈N*,n≤2 019)的渐近线方程为x - y=0,x+y=0. 2 019?? . 2 019已知点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,不妨设Bn在第一象限内,可得|AnBn|=相垂直,可得AnBn⊥AnCn, 则△AnBnCn的面积an=|AnBn|·|AnCn|=·12 1|??0 - ??0||??0+??0|·√√222|??0 - ??0||??0+??0|,|A,易知双曲线nCn|=√2√2En的两条渐近线互 =2??20 - ??04 = ?? ,则8 076 a1+a2+a3+…+a2 019=8 076×2×2 019×2 020= 11 505 . 2 【解后反思】 本题的亮点在于将数列与双曲线交汇考查,主要考查双曲线的渐近线方程及等差数列的前n项和公式,考查运算求解能力. 8.20 Sn=(an+),令n=1,得a1=(a1+), 由an>0,得a1=1. 12 122 ),即???? ? ???? - 1=1. ???? - ???? - 1 121???? 121??1 当n≥2时,Sn=(Sn - Sn - 1+ 22 因此,数列{????}是首项为1,公差为1的等差数列,所以????=n,即Sn=√??. 由√??+√?? - 1<2√??<√??+√??+1, 得2(√??+1 ? √??)=令S=+ 2√??+1+√??<22√??<2=2(√?? ? √?? - 1), √??+?? - 1√111 +…+, ??1??2??12112因为=, 所以S>2×[(√122 ? √121)+…+(√2 ? √1)]=2×(√122 - 1)>20, ????2√??111 S=??+(??+…+??)<1+2×[(√121 ? √120)+…+(√2 ? √1)]=1+2×(√121 - 1)=21, 12121111 故[++…+]=[S]=20. ??1??2??121【解后反思】 解决此类题时,先对数列进行求和,再利用取整函数求得结果,解题的关键是求出和或和的范围.本题利用放缩法求得和的范围. 9.2√5 5画出圆锥的轴截面如图D 4 - 1所示,B,A为圆锥的一条母线与球O1,球O2的切点, 图D 4 - 1 连接O1B,O2A,则O1B⊥AB,O2A⊥AB,过点O1作O1D⊥O2A于点D,连接O1F,O2E,EF,EF交O1O2于点C. 设圆锥母线与轴的夹角为α,截面与轴所成的角为β,则∠O1CF=β. 在Rt△O1O2D中,DO2=3 - 1=2,O1D =√82 - 22=2√15,∠O2O1D=α, 所以cos α = ??1????1??2 = 2√158 = √154 . 8 - ??1????2??易知CO2=8 - O1C,△EO2C∽△FO1C,所以 = ??1?? ,解得??1????????1??O1C=2. √32所以CF=√??1??2 - ????1=√22 - 12=√3,所以cos β = √3= 2. 故椭圆的离心率 cos?? e=cos?? =√1524=2√5. 5 【试题评析】 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥,得到的截口曲线是圆;把平面渐渐倾斜,得到的截口曲线是椭圆;当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时,得到的截口曲线是抛物线;当平面再倾斜一些,得到的截口曲线就是双曲线.本题就是以此为背景考查了“Dandelin双球”模型中椭圆的离心率等于截面与轴所成角的余弦和圆锥母线与轴的夹角的余弦的比(人教A版教材《选修4 - 1》第三讲P50对此已做证明),考查了推理论证能力与运算求解能力. 10.方案一:选条件①. 设{bn}的公比为q,则q3=5= - 27,即q= - 3,所以bn= - ( - 3)n - 1. 从而a5=b1= - 1,a2=b1+b3= - 10,又{an}是等差数列,所以an=3n - 16. 因为Sk>Sk+1且Sk+1 3(??+1) - 16<0, 解得k=4. 3(??+2) - 16>0, ????2 方案二:选条件②. 设{bn}的公比为q,则q3=5= - 27,即q= - 3,所以bn= - ( - 3)n - 1, 从而a5=b1= - 1,a4=b4=27,记{an}的公差为d,则d= - 28. 因为Sk>Sk+1且Sk+1 设{bn}的公比为q,则q3=5= - 27,即q= - 3,所以bn= - ( - 3)n - 1,从而a5=b1= - 1.由{an}是等差数列得S5=所以an=2n - 11. 因为Sk>Sk+1且Sk+1 ????2 5(??1+??5) = - 25,解得2????2 a1= - 9,
2024高考帮配套试题word（全国版）答案
