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1/2 2x3/2 1. 当X=1/5时，有最大值1/5 2. X=-3时，函数有最小值27 3. R=1/2 4. 在点( 2ln2,-)处曲率半径有最小值3×31/2/2 225. 7/6 6. e+1/e-2 7. x-3y-2z=0 8. (x-4)/2=(y+1)/1=(z-3)/5 9. 10. 2(21/2 -1) 11. 32/3 12. 4×21/2/3 13. 9/4 ??24(a-e?) 15. e/2 16. 8a2 /3 17. 3л/10 218. ?a?4??2a?a2(e2?e?2)??? 19. 160л2 20. 2л2 a2 b 21. 1663? 22. 7л2 a3 23. 1+1/2㏑3/2 /3 ?3?????5??2?1???2?? ?yp2?y2py?p226.?y22p??a2aae? /2+5/12 29. 8a 30. 5×21/2 31. 32. 5a-11b+7c 33. 4x+4y+10z-63=0 34. y2+z2 =5x 35. x+y2+z2 =9 36. x轴： 4x2-9(y2+z2)=36 37. x2+y2(1-x)2 =9 z=0 y轴：4(x2+z2)-9y2 =36 38. x+y+(1-x)≤9 z=0 39. 3x-7y+5z-4=0 40. 2x+9y-6z-121=0 41.
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x-3y-2z=0 42. x+y-3z-4=0 43. 222 133 x?4y?1z?3== 215x?3y?2z?145. == 21?4xy?2z?446. == 31?247. 8x-9y-22z-59=0 48. (-5/3,2/3,2/3) 44. 49. 32 2?17x?31y?37z?117?050. ? 4x?y?z?1?0? 四．证明题 1．证明不等式：2??1?11?x4dx?8 3证明：令f(x)?1?x4,x???1,1? 则f?(x)?4x321?x4?2x31?x4， 令f?(x)?0,得x=0 f(-1)=f(1)=2,f(0)=1 则1?f(x)?2 上式两边对x在??1,1?上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对f(x)进行分析，显然有f(x)?1?x4?1?2x2?x4?(1?x2)2?1?x2,于是 ?dx???111?11?xdx??(1?x2)dx,故 ?1412??1?11?x4dx?8 3 1dx?2．证明不等式??2?,(n?2) 201?xn6?1?证明：显然当x??0,?时，有 ?2?11111dxdx?1?????2??2?arcsinx2? 0201?xn1?xn1?x21?x206111dx?即，??2?,(n?2) 201?xn6 3．设f(x)，g(x)区间??a,a?(a?0)上连续，g(x)为
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偶函数，且f(x)满足条件 f(x)?f(?x)?A(A为常数)。证明： 证明： 1?a?af(x)g(x)dx?A?g(x)dx
0aa?a?af(x)g(x)dx??f(x)g(x)dx??f(x)g(x)dx ?a00 ? ?0?af(x)g(x)dx令x?u??f(?u)g(?u)du??f(?x)g(x)dx a00a??f(x)g(x)dx??f(?x)g(x)dx??f(x)g(x)dx???f(x)?f(?x)?g(x)dx?A?g(x)dx?a0000aaaaa 14．设n为正整数，证明?2cosxsinxdx?n02nn???20cosnxdx 证明：令t=2x,有 ? ?20cosxsinxdx?nn12n?1??20(si2nx)d2x?n12n?1??0nsintd
t???1?2nn? ?n?1??sintd?t??sintd?t, ?02?2???20?n0 又，?sintdtt???u???sin(??u)du??2sinnudu， 2n所以，
12cosxsinxdx?2sintdt?2sintdt)?(?0?02n?1?02nnnnn?1????20sinntdt?12n???2sinnxdx 又， ???2sinxdxx??n?2n?t???costdt??
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2cosnxdx 200?n1因
此，?2cosxsinxdx?n02n??20cosnxdx a?a5．设?(t)是正值连续函数，f(x)??x?t?(t)dt,?a?x?a(a?0),则曲线 y?f(x)在??a,a?上是凹的。 证明：f(x)??xx?a(x?t)?(t)dt??(t?x)?(t)dt
xxxa?a?axa ?x??(t)dt??t?(t)dt??t?(t)dt?x??(t)dt ?a f?(x)???(t)dt???(t)dt???(t)dt???(t)dt ?ax?aaxaxx f?(x)??(x)??(x)?2?(x)?0
故，曲线y?f(x)在??a,a?上是凹的。 dxdxx?6.证明：??11?x2 x1?x211dx证明：?x1?x21令x??1u1dudxxx?(?du)???1x1?11?u2?11?x2 u21?2u11117．设f(x)是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则 证明：? ??a?Taf(x)dx??f(x)dx 0T?a?TTf(x)dx令x?u?T??a0f(u?T)du??f(x?T)dx0a?f(x)以T为周期f(x?T)?f(x)??a0f(x)dx ?a0f(x)dx??a?
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TTf(x)dx?0 在等式两端各加 ?T0f(x)dx，于是
得 ?a?Taf(x)dx??f(x)dx 0T xux8．若f(x)是连续函数，则???f(t)dt?du??(x?u)f(u)du ?0?0?0?xuuxx证明：???f(t)dt?du?u?f(t)dt??uf(u)du ?0?0?0?00 ?x?f(t)dt??uf(u)du 00xx ??(x?u)f(u)du 0x 9．设f(x)，g(x)在?a,b?上连续，证明至
少存在一个??(a,b)使得 f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx ?ab?证明：作辅助函数F(x)??f(t)dt?g(t)dt，于f(x),g(x)在?a,b?上连续，所以 axxbF(x)在?a,b?上连续，在内可导，并有F(a)?F(b)?0 洛尔定理F?(?)?0,??(a,b) xb即??f(t)dt?g(t)dt???x?a??xx??bx??f(x)?g(t)dt??f(t)dt?g(x)???xa??x?? ?f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx ?ab? ＝0 亦即，f(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx ?ab? bb210．设f(x)在?a,b?上连续，证
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明：???af(x)dx???(b?a)?af(x)dx ??2xx?? 证明：令F(x)???f(t)dt??(x?a)?f2(t)dt a?a?2 ?F?(x)????f(t)?f(x)?dt?0 2ax 故f(x)是 ?a,b?上的减函数，又F(a)?0，F(b)?F(a)?0 bb??
故 ??f(x)dx??(b?a)?f2(x)dx a?a?2 11．设f(x)在?a,b?上可导，且f?(x)?M，f(a)?0证明： ?baf(x)dx?M(b?a)2 2 证明：题设对?x??a,b?,可知f(x)在?a,b?
上满足拉氏微分中值定理，于是有 f(x)?f(x)?f(a)?f?(?)(x?a),???a,x? 又f?(x)?M，因而，f(x)?M(x?a) 定积分比较定理，有 ?baf(x)dx??M(x?a)dx?abM(b?a)2 2
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专科《经济数学基础》一套练习题库及答案
