2019届高考数学二轮复习高考大题专项练八不等式选讲A理

八 不等式选讲(A)

1.(2018·临汾二模)已知函数f(x)=|x-2|+|2x+a|,a∈R. (1)当a=1时,解不等式f(x)≥5;

(2)若存在x0满足f(x0)+|x0-2|<3,求a的取值范围.

2.(2018·海南三模)已知函数f(x)=|x|+|x-3|. (1)求不等式f(x)<7的解集;

(2)证明:当

3.(2018·泉州模拟)已知函数f(x)=|x-a|+|x+2|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≤5的解集;

(2)?x0∈R,f(x0)≤|2a+1|,求a的取值范围.

4.若a>0,b>0,且+=

3

3

.

(1) 求a+b的最小值;

(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.

1.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+|2x+1|. 由f(x)≥5得|x-2|+|2x+1|≥5.

当x≥2时,不等式等价于x-2+2x+1≥5, 解得x≥2, 所以x≥2;

当-

所以此时不等式无解;

当x≤-时,不等式等价于2-x-2x-1≥5,

解得x≤-,

所以x≤-.

所以原不等式的解集为{x|x≤-或x≥2}. (2)f(x)+|x-2|=2|x-2|+|2x+a| =|2x-4|+|2x+a| ≥|2x+a-(2x-4)| =|a+4|.

因为原命题等价于(f(x)+|x-2|)min<3, 所以|a+4|<3,解得-7

所以实数a的取值范围为(-7,-1). 2.(1)解:f(x)=|x|+|x-3|, 当x≥3时,f(x)=x+x-3=2x-3,

由f(x)<7解得3≤x<5; 当0

综上可得,f(x)<7的解集为(-2,5).

(2)证明:由f(x)=

作出y=f(x)的图象,

显然直线y=k(x+4)恒过定点A(-4,0), 当直线经过点B(0,3)时,3=4k,

解得k=,此时构成三角形;

当直线y=k(x+4)与直线y=2x-3平行,可得k=2,

可得当

3.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|. ①当x≤-2时,f(x)=-2x-1,

令f(x)≤5,即-2x-1≤5,解得-3≤x≤-2; ②当-2

显然f(x)≤5成立,所以-2

令f(x)≤5,即2x+1≤5,解得1≤x≤2. 综上所述,不等式的解集为{x|-3≤x≤2}.

(2)因为f(x)=|x-a|+|x+2|≥|(x-a)-(x+2)|=|a+2|, 又?x0∈R,有f(x0)≤|2a+1|成立, 所以只需|a+2|≤|2a+1|,

22

所以(a+2)≤(2a+1),

2

化简可得a-1≥0,解得a≤-1,或a≥1. 所以a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).

4.解:(1)由故a+b≥2

3

3

3

3

=+≥≥4

,得ab≥2,且当a=b=,且当a=b=.

时等号成立.

时等号成立.

所以a+b的最小值为4

(2)不存在满足题意的a,b,理由:

由(1)知,2a+3b≥2≥4.

由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.