高考数学一轮总复习导数及其应用第二节导数的应用模拟创新题文新人教A版

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第3章 导数及其应用 第二

节 导数的应用模拟创新题 文 新人教A版

一、选择题

?1??2?2

1.(2016·河北保定第二次模拟)已知函数f(x)＝x－2cos x，则f(0)，f?－?，f??的大

?3??5?

小关系是( )

?1??2?A.f(0)

?1??2?∴f(x)为增函数，所以f(0)

答案 A

?1??2?B.f?－?

?5??3?

解析 f′(x)＝2x＋2sin x，当x∈[0，1]时f′(x)>0.

2.(2016·云南师大附中检测)若函数f(x)＝x－tx＋3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是( ) 51??A.?－∞，? 8??

B.(－∞，3] D.[3，＋∞)

2

32

?51?C.?，＋∞?

?8?

解析 f′(x)＝3x－2tx＋3，由于f(x)在区间[1，4]上单调递减，则有f′(x)≤0在[1，3?1?3?1?2

4]上恒成立，即3x－2tx＋3≤0，即t≥?x＋?在[1，4]上恒成立，因为y＝?x＋?在

x?2?2?x?3?1?51

[1，4]上单调递增，所以t≥?4＋?＝，故选C.

2?4?8答案 C

3.(2015·山东省实验中学二诊)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数1x2

f′(x)<，则f(x)<＋的解集是( )

3

33

A.{x|－11}

B.{x|x<－1} D.{x|x>1}

?x2?解析 构造函数F(x)＝f(x)－?＋?，F(1)＝f(1)－1＝0， ?33?

11

∵f′(x)＜，∴F′(x)＝f′(x)－＜0，∴F(x)在R上单调递减，

33

x2

f(x)＜＋的解集即F(x)＜0＝F(1)的解集，得x＞1.

33答案 D

4.(2015·广东佛山调研)若函数f(x)＝x－3x在(a，6－a]上有极小值，则实数a的取值范围是( ) A.(－5，1) C.[－2，1)

解析 f(x)＝x－3x，f′(x)＝3x－3， 令f′(x)＝0，解得x＝±1， 可以判断当x＝1时函数有极小值，

3

2

3

2

B.[－5，1) D.(－2，1)

a＜1，??2

∴?6－a≥1，解得a∈[－5，1)， ??6－a2＞a，

∴选B. 答案 B

5.(2014·山东青岛质检)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )

A.f(b)＞f(c)＞f(d) C.f(c)＞f(b)＞f(a)

B.f(b)＞f(a)＞f(e) D.f(c)＞f(e)＞f(d)

解析 依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0；

当x∈(c，e)时，f′(x)＜0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＞0. 因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数， 在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数， 又a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a)，选C. 答案 C 二、填空题

6.已知函数f(x)＝ln x－(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝________. 1mx＋m解析 f′(x)＝＋2＝2(x>0)，

mxxxx①当m>0时，f′(x)>0，f(x)在区间[1，e]上为增函数，f(x)有最小值f(1)＝－m＝4， 得m＝－4，与m>0矛盾.

②当m<0时，若－m<1，即m>－1，

f(x)min＝f(1)＝－m＝4，

得m＝－4，与m>－1矛盾；

若－m∈[1，e]，即－e≤m≤－1，f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4， 解得m＝－e，与－e≤m≤－1矛盾；

若－m>e，即m<－e时，f(x)min＝f(e)＝1－＝4，

e解得m＝－3e，符合题意. 答案 －3e

13a2

7.(2015·赣州市十二县联考)若函数f(x)＝x－x＋(3－a)x＋b有三个不同的单调区

32间，则实数a的取值范围是________.

解析 f′(x)＝x－ax＋3－a，要使f(x)有三个不同单调区间，需Δ＝(－a)－4(3－a)＞0，即a∈(－∞，－6)∪(2，＋∞). 答案 (－∞，－6)∪(2，＋∞)

创新导向题

利用导数研究函数问题

8.已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f′(x)＝1

＝xf(x)＋的零点个数是( )

2

2

3

mf（x）

>0，则函数F(x)xxA.0 C.2

B.1 D.3

解析 由条件知y＝xf(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，又x＝0时，

y＝0，利用y＝xf(x)与y＝－的图象得F(x)有一个零点.

x答案 B

利用单调性求参数取值范围问题

1

12

9.已知函数f(x)＝－x＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________.

23－x＋4x－3（x－1）（x－3）

解析 由题意知f′(x)＝－x＋4－＝＝－，

2

xxx由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调， 由t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，得0＜t＜1或2＜t＜3. 答案 (0，1)∪(2，3)

专项提升测试 模拟精选题

一、选择题

10.(2016·四川雅安第三次诊断模拟)设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有

xf′(x)

A.3f(2)>2f(3) C.3f(2)<2f(3) 解析 令F(x)＝B.3f(2)＝2f(3)

D.3f(2)与2f(3)大小不确定

f（x）xf′（x）－f（x）

，则F′(x)＝<0， xx2

f（2）f（3）

2

>3

，所以3f(2)>2f(3).

所以F(x)为减函数，答案 A

??2x＋3x＋1 （x≤0），

11.(2016·甘肃兰州诊断)若函数f(x)＝?ax在[－2，2]上的最大值

?e （x＞0）?

32

为2，则a的取值范围是( ) 1??A.?ln 2，＋∞?

?2?C.(－∞，0]

2

1?0，ln 2?B.??

?2?1??D.?－∞，ln 2?

2??

解析 当x≤0时，f′(x)＝6x＋6x，易知函数f(x)在(－∞，0]上的极大值点是x＝－1，ln 2ax且f(－1)＝2，故只要在(0，2]上，e≤2即可，即ax≤ln 2在(0，2]上恒成立，即a≤

x1

在(0，2]上恒成立，故a≤ln 2.

2答案 D 二、填空题

12.(2015·河南南阳三模)已知函数f(x)＝x＋x，对任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)

3

＜0恒成立，则x的取值范围为________.

解析 ∵f′(x)＝3x＋1＞0恒成立，∴f(x)在R上是增函数. 又f(－x)＝－f(x)，∴y＝f(x)为奇函数.

由f(mx－2)＋f(x)＜0得f(mx－2)＜－f(x)＝f(－x)， ∴mx－2＜－x，即mx－2＋x＜0在m∈[－2，2]上恒成立. 记g(m)＝xm－2＋x，

??g（－2）＜0，??－2x－2＋x＜0，?则即? ?g（2）＜0，?2x－2＋x＜0，??

2

2解得－2＜x＜.

32??答案 ?－2，? 3

??

三、解答题

12

13.(2014·德州模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax－2x.

2(1)若函数f(x)在x＝2处取得极值，求实数a的值； (2)若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；

11

(3)当a＝－时，关于x的方程f(x)＝－x＋b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求

22实数b的取值范围.

ax2＋2x－1

解 (1)f′(x)＝－(x＞0)，

x∵x＝2时，f(x)取得极值，

3

∴f′(2)＝0，解得a＝－，经检验知符合题意.

4(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 依题意f′(x)≥0在x＞0时恒成立， 即ax＋2x－1≤0在x＞0时恒成立，

1－2x?1?2??1?2?即a≤2＝?－1?－1在x＞0时恒成立，即a≤??－1?－1?

(x＞0)，

2

x?x?

??x??min

?1?当x＝1时，?－1?－1取最小值－1，∴a的取值范围是(－∞，－1]. ?x?

11123

(3)a＝－，f(x)＝－x＋b，即x－x＋ln x－b＝0.

2242

2