2、 (I)f'?x???x?1?ex?2a?x?1???x?1?ex?2a.
(i)设a?0，则当x????,1?时，f'?x??0；当x??1,???时，f'?x??0. 所以在???,1?单调递减，在?1,???单调递增. (ii)设a?0，由f'?x??0得x=1或x=ln(-2a).
??①若a??e，则f'?x???x?1??ex?e?，所以f?x?在???,???单调递增. 2e，则ln(-2a)<1,故当x????,ln??2a??U?1,???时，f'?x??0； 2②若a??当x?ln??2a?,1时，f'?x??0，所以f?x?在??,ln??2a?,?1,???单调递增，在ln??2a?,1单调递减.
??????③若a??e，则ln??2a??1，故当x????,1?U?ln??2a?,???时，f'?x??0，2当x?1,ln??2a?时，f'?x??0，所以f?x?在???,1?,ln??2a?,??单调递增，在1,ln??2a?单调递减.
(II)(i)设a?0，则由(I)知，f?x?在???,1?单调递减，在?1,???单调递增. 又f?1???e，f?2??a，取b满足b<0且
??????ba?ln， 22则f?b??a3?23b?b??0，所以f?x?有两个零点. ?b?2??a?b?1??a??22??x(ii)设a=0，则f?x???x?2?e所以f?x?有一个零点.
(iii)设a<0，若a??e，则由(I)知，f?x?在?1,???单调递增. 2e，则由(I)知，f?x?在2又当x?1时，f?x?<0，故f?x?不存在两个零点；若a??在?ln??2a?,???单调递增.又当x?1时f?x?<0，故f?x?不?1,ln??2a??单调递减，
存在两个零点. 综上，a的取值范围为?0,???.
3、试题解析：（Ⅰ）f(x)的定义域为(??,?2)?(?2,??).
(x?1)(x?2)ex?(x?2)exx2exf'(x)???0, 22(x?2)(x?2)且仅当x?0时，f'(x)?0，所以f(x)在(??,?2),(?2,??)单调递增，
因此当x?(0,??)时，f(x)?f(0)??1,
所以(x?2)e??(x?2),(x?2)e?x?2?0
xx(x?2)ex?a(x?2)x?2?2(f(x)?a), （II）g(x)?2xx由（I）知，f(x)?a单调递增，对任意a?[0,1),f(0)?a?a?1?0,f(2)?a?a?0,
因此，存在唯一x0?(0,2],使得f(x0)?a?0,即g'(x0)?0，
当0?x?x0时，f(x)?a?0,g'(x)?0,g(x)单调递减；
当x?x0时，f(x)?a?0,g'(x)?0,g(x)单调递增.
因此g(x)在x?x0处取得最小值，最小值为
ex0?a(x0?1)ex0+f(x0)(x0?1)ex0g(x0)???. 22x0x0x0?2ex(x?1)exexex0)'??0,于是h(a)?，由(单调递增 2x?2(x?2)x?2x0?21e0ex0e2e2所以，由x0?(0,2],得??h(a)???.
20?2x0?22?241e2ex因为单调递增，对任意??(,],存在唯一的x0?(0,2],a?f(x0)?[0,1),
24x?21e2使得h(a)??,所以h(a)的值域是(,],
241e2综上，当a?[0,1)时，g(x)有h(a)，h(a)的值域是(,].
24考点： 函数的单调性、极值与最值.
4、【答案】（Ⅰ）2x?y?2?0.；（Ⅱ）???,2?.. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求定义域，再求f?(x)，f?(1)，f(1)，由直线方程得点斜式可求曲线
y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x?y?2?0.（Ⅱ）构造新函数
g(x)?lnx?a(x?1)，对实数a分类讨论，用导数法求解. x?1试题解析：（I）f(x)的定义域为(0,??).当a?4时，
f(x)?(x?1)lnx?4(x?1),f?(x)?lnx?在(1,f(1))处的切线方程为2x?y?2?0.
1?3，f?(1)??2,f(1)?0.曲线y?f(x)x（II）当x?(1,??)时，f(x)?0等价于lnx?a(x?1)?0. x?1令g(x)?lnx?a(x?1)，则 x?112ax2?2(1?a)x?1g?(x)???,g(1)?0，
x(x?1)2x(x?1)2（i）当a?2，x?(1,??)时，x?2(1?a)x?1?x?2x?1?0，故g?(x)?0,g(x)在
22x?(1,??)上单调递增，因此g(x)?0；
（ii）当a?2时，令g?(x)?0得
x1?a?1?(a?1)2?1,x2?a?1?(a?1)2?1，
由x2?1和x1x2?1得x1?1，故当x?(1,x2)时，g?(x)?0，g(x)在x?(1,x2)单调递减，因此g(x)?0.
综上，a的取值范围是???,2?. 考点：导数的几何意义，函数的单调性.
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