08金属的结构和性质
【8.1】半径为R的圆球堆积成正四面体空隙，试作图计算该四面体的边长和高、中心到顶点距离、中心距离地面的高度、中心到两顶点连县的夹角以及中心到球面的最短距离。
解：4个等径圆球作紧密堆积的情形示于图9.1（a）和(b)，图9.1(c)示出堆积所形成的正四面体空隙。该正四面体的顶点即球心位置，边长为圆球半径的2倍。
图9.1
由图和正四面体的立体几何知识可知： 边长AB=2R
12AM??AE?EM2122?高
?2?1???AB?BE2??DE??3???122????
21222??2?1?3??2??1??2???AB??AB???AE?????2R??R??R?????2??3????3??????
2?6R?1.633R3
36OA?AM?R?1.225R42中心到顶点的距离：
16AM?R?0.408R46中心到底边的高度：
中心到两顶点连线的夹角为：?AOB
OM??2??OA?OB?AB?1???cos?1???cos??2?OA??OB????
?1?cos??1/3??109.47?
222?26R/2??2R???2?26R/2??
?2??中心到球面的最短距离?OA?R?0.225R
本题的计算结果很重要。由此结果可知，半径为R的等径圆球最密堆积结构中四面体空 隙所能容纳的小球的最大半径为0.225R。而0.225正是典型的二元离子晶体中正离子的配位 多面体为正四面体时正、负离子半径比的下限。此题的结果也是了解hcp结构中晶胞参数的
基础(见习题9.04)。
【8.2】半径为R的圆球堆积成正八面体空隙，计算中心到顶点的距离。
解：正八面体空隙由6个等径圆球密堆积而成，其顶点即圆球的球心，其棱长即圆球的直径。空隙的实际体积小于八面体体积。图9.2中三图分别示出球的堆积情况及所形成的正八面体空隙。
图9.2
由图（c）知，八面体空隙中心到顶点的距离为：
OC?而八面体空隙中心到球面的最短距离为：
111AC?2AB?2?2R?2R222
OC?R?2R?R?0.414R
此即半径为R的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙所能容纳的小球的最大半径。0.414 是典型的二元离子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时r?/r?的下限值。
【8.3】半径为R的圆球围成正三角形空隙，计算中心到顶点的距离。
解：由图9.3可见，三角形空隙中心到顶点（球心）的距离为：
OA?22AD?3R?1.155R33
图9.3
三角形空隙中心到球面的距离为：
OA?R?1.155R?R?0.155R
此即半径为R的圆球作紧密堆积形成的三角形空隙所能容纳的小球的最大半径，0.155是“三角形离子配位多面体”中r?/r?的下限值。
【8.4】半径为R的圆球堆积成A3结构，计算简单立方晶胞参数a和c的数值。
解：图9.4示出A3型结构的—个简单六方晶胞。该晶胞中有两个圆球、4个正四面体
空隙和两个正八面体空隙。由图可见，两个正四面体空隙共用一个顶点，正四面体高的两倍即晶胞参数c，而正四面体的棱长即为晶胞参数a或b。根据9.01题的结果，可得：
图9.4
a?b?2R 24c?6R?2?6R33 2c/a?6?1.6333
【8.5】证明半径为R的圆球所作的体心立方堆积中，八面体空隙只能容纳半径为0.154R的小球，四面体空隙可容纳半径为0.291R的小球。
证明：等径圆球体心立方堆积结构的晶胞示于图9.5（a）和（b）。由图9.5（a）可见，八面体空隙中心分别分布在晶胞的面心和棱心上。因此，每个晶胞中6个八面体空隙
11??6??12???24?。而每个晶胞中含2个圆球，所以每个球平均摊到3个八面体空隙。这些?八面体空隙是沿着一个轴被压扁了的变形八面体，长轴为2a，短轴为a（a是晶胞参数）。
（?圆球，o八面体空隙中心，g四面体空隙中心）
图9.5
八面体空隙所能容纳的小球的最大半径r0即从空隙中心（沿短轴）到球面的距离，该
a?R
距离为2。体心立方堆积是一种非最密堆积，圆球只在C3轴方向上互相接触，因而
a??2?4ar??1R?R0??R?0.154R3。代入2?3?，得。
由图9.5（b）可见，四面体空隙中心分布在立方晶胞的面上，每个面有4个四面体中
1??6?4???2??。而每个晶胞有2个球，所以每个球平均心，因此每个晶胞有12个四面体空隙
3a摊到6个四面体空隙。这些四面体空隙也是变形的，两条长棱皆为a，4条短棱皆为2。
四面体空隙所能容纳的小球的最大半径rT等于从四面体空隙中心到顶点的距离减去球
金属的结构和性质-体心立方堆积中八面体空隙与四面体空隙半径计算
