【答】
602． 7解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且?ACB?90?． 作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由?ECF??ACB?45?，得
12CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所
以
EFBF， ?ACBCx20?x即 ?，
1520
60260解得x?．所以CE?2x?．
77<第题） 910．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报
<第10题） 出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．2JnJJMc8QO 【答】?2．
解：设报3的人心里想的数是x，则报5的人心里想的数应是
8?x．
于是报7的人心里想的数是 12?(8?x)?4?x，报9的人心里想的数是 16?(4?x)?12?x，报1的人心里想的数是 20?(12?x)?8?x，
报3的人心里想的数是4?(8?x)??4?x．所以2JnJJMc8QO x??4?x， 解得x??2．
三、解答题<共4题，每题20分，共80分）
11．已知抛物线y?x2与动直线y?(2t?1)x?c有公共点(x1,y1)，
(x2,y2)，
2?t2?2t?3. 且x12?x2 <1）求实数t的取值范围；
<2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值. 解：<1）联立y?x2与y?(2t?1)x?c，消去y得二次方程
x2?(2t?1)x?c?0
①
有实数根x1，x2，则x1?x2?2t?1,x1x2?c．所以
2 c?x1x2?[(x1?x2)2?(x12?x2)]
12=
1[(2t?1)2?(t2?2t?3)]2＝
12(3t?6t?4)． ② 2 ………
………5分
把②式代入方程①得
1x2?(2t?1)x?(3t2?6t?4)?02．
③
………
………10分
t的取值应满足
2t2?2t?3?x12?x2≥0，
④
且使方程③有实数根，即
??(2t?1)2?2(3t2?6t?4)＝?2t2?8t?7≥0，
⑤
解不等式④得 t≤-3或t≥1，解不等式⑤得 2?所以，t的取值范围为
2?2222≤t≤2?. 22≤
t≤
2?22.
⑥
………
………15分
(2> 由②式知c?(3t2?6t?4)?(t?1)2?. 由于c?(t?1)2?在2?t?2?2 2322111?62?1)2??. ……………224123212321222≤t≤2?时是递增的，所以，当22时,cmin?(2?…20分
12．已知正整数a满足192a3?191，且a?2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和．
解：由192a3?191可得192a3?1．192?3?26，且
a3?1??a?1??a(a?1)?1??(a?1)a(a?1)?(a?1)．
………………5分
由于a?a?1??1是奇数，所以26a3?1等价于26a?1，又由于
3(a?1)a(a?1)，所以3a3?1等价于3a?1．因此有192a?1，于是可得a?192k?1．
………………15分
又0?a?2009，所以k?01，，L，10．因此，满足条件的所有可能的正整数a的和为
11
＋
192<1
＋
2
＋
…
＋
10
）
＝
10571． ………………20分
13．如图，给定锐角三角形ABC，BC?CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．2JnJJMc8QO
解法
1：结论是
DF?EG．下面给出证
明． ………………5分
由于?FCD??EAB，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得
CD． ABCE同理可得 EG?AD?．
ABDF?BE? ………………10分 <第13A又由于tan?ACB?题） ADBE，所以有BE?CD?AD?CE，于是可得 ?CDCEDF?EG． ………
………20分
解法2：结论是DF?EG．下面给出证明．
……………… 5分
连接DE，由于?ADB??AEB?90?，所以A，B，
D，E四点共圆，故
<第题） 13A?CED??ABC． …………
……10分
又
l是⊙O的过点C的切线，所以
?ACG??ABC． ………………15分
所以，?CED??ACG，于是DE∥FG，故DF＝EG．
………………20分
14．nL，an满足如下条件：个正整数a1，a2，1?a1?a2?L?an?2009；
L，an中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求且a1，a2，n的最大值．
L，an中去掉ai后剩下的n－1个数的算术平均数为解：设a1，a2，正整数bi，i?1，2，L，n．即 bi?(a1?a2?L?an)?ai．
n?1于是，对于任意的1≤i?j≤n，都有
bi?bj?aj?ain?1，
2020年TI杯全国初中数学竞赛试卷及答案(六)
