2020年TI杯全国初中数学竞赛试卷及答案
（六）
一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．已知非零实数a，b 满足 2a?4?b?2?(a?3)b2?4?2a，则
a?b等于< ）．
解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为b?2?(a?3)b2?0，于是a?3，b??2，从而a?b＝1． 2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于< ）．2JnJJMc8QO 5?15?1 22<第2题） 【答】A． 解：由于△BOC ∽ △ABC，所以 ?1aa， a?1BOBC?，即 ABAC所以， a2?a?1?0． 由a?0，解得a?1?5． 23．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y?ax?by?3，的方程组? 只有正数解的概率为 x?2y?2?< ）．2JnJJMc8QO 12513 解：当2a?b?0时，方程组无解． 6?2b?x?,??2a?b当2a?b?0时，方程组的解为? 2a?3?y?.?2a?b??2a?b?0,?2a?b?0,?6?2b?0,???33?2a?b?由已知，得?即?a?,或? a?,?2a?322????0,????2a?b?b?3,?b?3.由a，b的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得 3，4，5，6，?a?2，?a?1，共有 5×2＝10种情况；或共3种情况． ??2，5，6，?b?1，?b?4，又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为 13． 364．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，?B?90?. 动点P从点 B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x， △ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则 △ABC的面积为< ）．2JnJJMc8QO 图2 图1 <第题） 4 【答】B． 解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故 S△ABC＝×8×4＝16. 5．关于x，y的方程x2?xy?2y2?29的整数解 解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为 x2?yx?(2y2?29)?0． 由于该方程有整数根，则判别式?≥0，且是完全平方数． 由 ??y2?4(2y2?29)??7y2?116≥0， 解得 y2≤ y2 12116?16.57．于是 70 116 1 109 4 88 9 53 16 4 ? 显然，只有y2?16时，??4是完全平方数，符合要求． 当y?4时，原方程为x2?4x?3?0，此时x1??1,x2??3； 当y＝－4时，原方程为x2?4x?3?0，此时x3?1,x4?3． 所以，原方程的整数解为 ?x3?1,?x1??1,?x2??3,?x4?3, ?????y1?4;?y2?4;?y4??4.?y3??4;二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分） 6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．2JnJJMc8QO 【答】3750． 解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为 kk,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设50003000一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有2JnJJMc8QO ky?kx??k,??50003000 ??ky?kx?k,??50003000k(x?y)k(x?y)??2k， 500030002则 x?y??3750． 11?50003000两式相加，得 7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心， DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于 AH点H，则的值为 ．2JnJJMc8QO AB解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ． 由题设知AC?AD，AB?AE，在△FHA和△EFA中， ?EFA??FHA?90?，?FAH??EAF 1313所以 Rt△FHA∽Rt△EFA， AHAF? . AFAE 而AF?AB，所以 AH1?. AB3<第题） 78．已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个不同 的 整 数 ， 若 b是关于x的方程 ?x?a1??x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009的整数根，则 为 ． 【答】 10． 解：由于 a1，a2，a3，a4，a5b的值 ?b?a1??b?a2??b?a3??b?a4??b?a5??2009，且 五 个 不 同 的 整 数 ， 所 有 是 b?a1，b?a2，b?a3，b?a4，b?a5也是五个不同的整数． 又由于2009?1???1??7???7??41，所以 b?a1?b?a2?b?a3?b?a4?b?a5?41． 由a1?a2?a3?a4?a5?9，可得b?10． 9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为?ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．2JnJJMc8QO
2020年TI杯全国初中数学竞赛试卷及答案(六)
