课时规范练42 空间向量及其运算
一、基础巩固组
1.已知空间四边形OABC中,A.a-b+c
=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则=( )
B.-a+b+c
C.a+b-c D.a+b-c
2.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O,球面上的两个点A,B的坐标分别为A(1,2,2),B(2,-2,1),则|AB|等于( ) A.18
B.12
C.3
D.2
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若为( ) A.x=1,y=1
B.x=1,y=
+x+y,则x,y的值分别
C.x=,y= D.x=,y=1
4.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是( ) A.a∥b,a∥c B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b D.以上都不对 5.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定
=0,=0,=0,M为BC中点,则△AMD是
6.(2017浙江舟山模拟)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60°,且
||=1,||=2,||=3,则|B.6
|等于( )
C.4
D.8
A.5
7.已知空间向量a,b,满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角为,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足
=3a-b,则△OAB的面积为 .
8.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为 .
9.(2017宁夏银川模拟)已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若是 . 10.
=2a+b,
=2,则||的值
如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心, 求证:(1)A1,G,C三点共线; (2)A1C⊥平面BC1D.
?导学号21500751?
二、综合提升组
1
11.已知=(2,2,-2),=(1,y,z),若=(x-1,y,1),且BP⊥AB,则实数x,y,z分别为( ) A.5,-1,1 B.1,1,-1 C.-3,1,1 D.4,1,-2
12.(2017安徽合肥质检)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,点M是BC的中点,点P∈AC1,Q∈MD,则PQ长度的最小值为( ) A.1
B.
C.
D.2
13.(2017内蒙古包头模拟)如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中
点,cos<>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为 . ?导学号21500752?
14.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点. (1)求证:EF⊥CD.
(2)在平面PAD内是否存在一点G,使GF⊥平面PCB.若存在,求出点G坐标;若不存在,试说明理由.
三、创新应用组
15.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为 .
16.如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1,在其底面三角形ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是
A1B1,A1A的中点.
(1)求
的模;
(2)求cos<>的值; (3)求证:A1B⊥C1M.
2
?导学号21500753?
课时规范练42 空间向量及其运算
1.B 2.C |AB|=3.C 如图,
)-=-a+b+c.
)=
=3
4.C 因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,所以a∥c.又a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,所以a⊥b. 5.C ∵M为BC中点,
)
∴AM⊥AD,△AMD为直角三角形. 6.A 设7
).
=0.
|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此||=5.
=a,=b,=c,则=3a-b,得
=a+b+c,| 由|=2a+b,|=
,||==(2a+b)·(3a-
b)=∴cos∠BOA=∴sin∠BOA=∴S△OAB=8.2 由题意知
,
||=0,||sin∠BOA=|=||
=(6,-2,-3),=(x-4,3,-6),
解得x=2.
9
设P(x,y,z),则=(x-1,y-2,z-1),
|=
=(-1-x,3-y,4-z).由=2,得点P坐标为
又D(1,1,1),∴|10.证明 (1)
)=)
=)=,
,即A1,G,C三点共线.
(2)设=a,=b,则|a|=|b|=|c|=a, 且a·b=b·c=c·a=0.
=c,
=a+b+c,=c-a,
3
=(a+b+c)·(c-a)
=c-a=0.
因此, 即CA1⊥BC1. 同理CA1⊥BD.
又BD与BC1是平面BC1D内的两条相交直线,故A1C⊥平面BC1D. 11.B ,=-,解得y=1,z=-1.
∵BP⊥AB,∴2(x-1)+2y-2=0,解得x=1.
12.C 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,设P(x0,2x0,3-3x0),Q(x1,2-x1,3),x0∈[0,1],x1∈2
2
[0,1],所以PQ=,
当且仅当x0=,x1=时,PQ取得最小值,即PQmin=
13.(1,1,1) 由已知得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),
设P(0,0,a)(a>0),则E,所以=(0,0,a),,||=a,||=
又cos<>=,所以,解得a2
=4,即a=2,所以E(1,1,1). 14.(1)证明 如图,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则
D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,P(0,0,a),F
=(0,a,0).
=0,
,
即EF⊥CD.
(2)解 假设存在满足条件的点G,设G(x,0,z),
则,若使GF⊥平面PCB,
则由x-,-,z-(a,0,0)=a=0,得x=
由
x-,-,z-(0,-a,a)=+a=0,得z=0.
∴点G坐标为,即存在满足条件的点G,且点G为AD的中点.
4
15 以A为坐标原点,射线AB,AD,AQ分别为x,y,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方形ABCD和ADPQ的边长为2,则E(1,0,0),F(2,1,0),M(0,y,2)(0≤y≤2). 所以=(2,1,0),
=(-1,y,2). 所以=-2+y,||=,||=所以cos θ= =
令2-y=t,
则y=2-t,且t∈[0,2]. 所以cos θ=
=
当t=0时,cos θ=0. 当t≠0时, cos θ=
=,
由t∈(0,2],得,
所以
所以0 , 即cos θ的最大值为 16.(1)解 如图,建立空间直角坐标系. 依题意得B(0,1,0),N(1,0,1), ∴||= 5
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