第八讲几何中的计数问题（二）
第八讲 几何中的计数问题（二）
我们在已经学会数线段、数角、数三角形的基础上，通过本讲学习数长方形，正方形 及数综合图形来进一步提高观察和思考问题的能力，学会在观察、思考、分析中总结归纳 出解决问题的规律和方法.
一、数长方形
例1如下图，数一数下列各图中长方形的个数？
分析图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为：
4+3+2+1=10（个）.
图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条. BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为：
（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.
图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2 +1）×（3+2+1）=60（个）.
解：图（Ⅰ）中长方形个数为4+3+2+1=10（个）. 图（Ⅱ）中长方形个数为：
（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.
图（Ⅲ）中长方形个数为：
（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）.
第八讲几何中的计数问题（二）
小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条 边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：
（1+2+3+?+m）×（1+2+3+?+n）. 例2 如右图数一数图中长方形的个
数.
解：AB边上分成的线段有： 5+4+3+2+1=15. BC边上分成的线段有： 3+2+1=6. 所以共有长方形：
（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）.
二、数正方形
例3 数一数下页各个图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形） 分析图Ⅰ中，边长为1个长度单位的正方形有： 2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有：
1×1=1（个）.
第八讲几何中的计数问题（二）
所以，正方形总数为1×1+2×2=1+4=5（个）.
图Ⅱ中，边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个）； 边长为2个长度单位的正方形有：2×2=4（个）； 边长为3个长度单位的正方形有1×1=1（个）.
所以，正方形的总数为：1×1+2×2+3×3=14（个）. 图Ⅲ中，边长为1个长度单位的正方形有： 4×4=16（个）； 边长为2个长度单位的正方形有：3×3=9（个）； 边长为3个长度单位的正方形有：2×2=4（个）； 边长为4个长度单位的正方形有：1×1=1（个）； 所 以 ， 正 方 形 的 总 数 为 ： 1×1+2×2+3×3+4×4=30（个）. 图Ⅳ中，边长为1个长度单位的正方形有： 5×5=25（个）；
边长为2个长度单位的正方形有：4×4=16（个）； 边长为3个长度单位的正方形有：3×3=9（个）； 边长为4个长度单位的正方形有：2×2=4（个）；
第八讲几何中的计数问题（二）
边长为5个长度单位的正方形有：1×1=1（个）. 所 有 正 方 形 个 数 为 ： 1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55（个）.
小结：一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边 长为1个长度单位的正方形个数有：n×n=n2（个），边长为2个长度单位的正方形个数 有：（n-1）×（n-1）=（n-1）2（个）?；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有：
2×2=22（个），边长为n个长度单位的正方形个数有：1×1=1（个）.所以，这个大正方形 内所有正方形总数为：12+22+32+?+n2（个）.
例4 如右图，数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.
分析为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图 中共有五类正方形.
①以一条基本线段为边的正方形个数共有： 6×5=30（个）.
②以二条基本线段为边的正方形个数共有： 5×4=20（个）.
③以三条基本线段为边的正方形个数共有： 4×3=12（个）.
④以四条基本线段为边的正方形个数共有： 3×2=6（个）.
⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有：
第八讲几何中的计数问题（二）
2×1=2（个）.
所以，正方形总数为： 6×5+5×4+4×3+3×2+2×1 =30+20+12+6+2=70（个）.
小结：一般情况下，若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n＜m）：mn+（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+? +（m-n+1）·1
显然例4是结论的特殊情况.
例5 如下图，平面上有16个点，每个点上都钉上钉子，形成4×4的正方形钉阵，现有许多皮筋，问能套出多少个正方形.
分析这个问题与前面数正方形的个数是不同的，因为正方形的边不是先画好的，而是要我们去确定的，所以如何确定正方形的边长及顶点，这是我们首先要思考的问题.很明显，我们能围成上图Ⅰ那样正向正方形14个，除此之外我们还能围出图Ⅱ那样斜向正方形4 个，图Ⅲ那样斜向正方形2个.但我们不可能再围出比它们更小或更大的斜向正方形，所以斜向正方形一共有4+2=6个，总共可以围出正方形有：14+6=20（个）.
我们把上述结果列表分析可知，对于n×n个顶点，
可作出斜向正方形的个数恰好等于（n-1）×（n-1）个顶点时的所有正方形的总数.
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第八讲 几何中的计数问题(二)(含答案)
