??BF?M??CF?N
???BMF???CNF??BM?CN? ∴△BMF≌△CNF ∴BF?CF
∴AF是BC边上的中线 又∵AF时BC边上的中线 ∴AF与AF重合 即AF经过点D
∴AF、BD、CE三线相交于点G 因此三角形三边上的中线相交于一点。 六、梯形问题
例9．以线段a=16,b=13为梯形的两底，以c=10为一腰，则另一腰长d的取值范围是＿
分析：如图，梯形ABCD中，上底b=13，下底a=16，腰AD= c=10，过B作BE∥AD,得到平行四边,
,
''形ABED，从而得AD=BE=10,AB=DE=13 所以EC=DC-DE=16-13=3. 所以另一腰d的取值范围是 10-3＜d＜10+3 答案：7＜d＜13
A BDEC例10．如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC,高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形ABCD的面积。
分析：已知条件中给出两条对角线的长，但对角线位置交错，条件一时用不上。另外，求梯形面积
只要求出上、下底的和即可，不一定求出上、下底的长，所以考虑平移腰。
解：解法一：如图，过A作AF∥BD,交CD延长线于F
AB//FC A B?四形ABDF是平行四形?FD?AB,AF?BD?15?FC?AB?DCAE?FC??AEF??AEC?90在直角三角形AEF中，AE=12,AF=15
?EF。FDEC?AF?AE?15?12?9
2222 在直角三角形AEC中，AE=12,AF=15
?EC?AC?AE?20?12?16?AB?DC?FC?EF?EC?9?16?2511?S梯形ABCD?(AB?DC)?AE??25?12?150222222
A 解法二：如图，过B作BF⊥DC于F ∴∠BFC=90°∵AE⊥DC于E
B
??AED= ?AEC=90??AEC=?BFC=90?AE//BFAB//DC。
。DEFC?ABFE是平行四形?BF?AC?12,AB?EF 在直角三角形ABC中，AE?12,AC?2024
?EC?AC?AE?16
在直角三角形BDF中，
BF?12,BD?1522
?DF?BD?BF?9?AB?DC?DF?CE?9?16?25?S梯形ABCD?11(AB?DC)?AE??25?12?15022
例11.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B+∠C=90°,M、N分别是AD、BC的中点，
试说明：
1MN?(BC?AD)2G 分析1：∠B+∠C=90°，考虑延长两腰，使它们相交于
一点，
构成直角三角形。
解法1：延长BA、CD交于点G,连接GM、GN
B
N
C
A M
D ?B??C?90??BGC?90?AM?MD?GM?AM??GAM??AGM又?BN?CN?GN?BN??B??BGN。。ADBC??GAM??B??AGM??BGN ∵B、A、G共线 ∴G、M、N共线
11GM?AD,GN?BC221?MN?GN?GM?(BC?AD)2
分析2：考虑M、N分别为AD、BC中点，可以过M分别作AB、DC的平行线，梯形ABCD内部构成直
角三角形，把梯形转化为平行四边形和三角形。
解法2：作ME∥AB交BC于E,作MF∥DC交BC于F ∵AD∥BC ∴四边形ABEM、DCFM都是平行四边形 ∴BE=AM,FC=DM
A D M AM?MD?BE?FCBN?CN?EN?FN由MEAB,MFDC??MEF??B,?MFE??C?B??C?90??MEF??MFE?90
。。B
E
N
F
C
∴∠EMF=90°,又∵EN=FN
11?MN?EF?(BC?AD)
22
[模式归纳]
通过上面各例的分析、解证，发现添加适当的辅助线能使解题思路畅通，解答过程简捷。但辅助线
的添加灵活多变，好像比较难以把握。其实添什么样的辅助线怎么添辅助线与已知条件的特征和所求问题的形成关系密切。下面分类归纳几种常用的辅助线的添加方法。 一、倍角问题
1∠α问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形： 211. ∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=∠α，然后证明∠1=∠β；或把∠β
2研究∠α＝2∠β或∠β=
翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一）
2. ∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构造等腰
三角形的方法添加辅助线（如图二） α
α 12图一 β β 图二 二 中点问题
已知条件中含有线段的中点信息称为中点问题。这类问题常用三种方法添加辅助线 （1）
延长中线至倍（或者倍长中线），如图一。若图形中没有明显的三角形的中线，也可以构造中线后，再倍长中线，如图二。
（2） （3）
构造中位线，如图三
构造直角三角形斜边上的中线，如图四。
图一 图二 图三 图四
三、角平分线问题
已知条件中含有角平分线信息称为角平分线问题。常用的辅助线有两种： 1. 以角平分线所在直线为对称轴，构造全等三角形，如图一、二所示。 2. 由角平分线上的点向角的两边做垂线，构造全等三角形，如图二所示。
图一 图二 图三
四、线段的和差问题
已知条件或所求问题中含有a+b=c或a=c-b，称为线段的和差问题，常用的辅助线有两种： 1. 短延长：若AB=a,则延长AB到M,使BM=b,然后证明AM=c； 2. 长截短：若AB=c,则在线段AB上截取AM=a,然后证明MB=b。
五、垂线段问题
已知条件或所求问题中含有两条或者两条以上的垂线段时，而所研究的问题关系又不明显时，可以借助于可求图形的面积转化。常用的面积关系有：
初中数学_巧添辅助线__解证几何题
