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一 二维形式的柯西不等式
[课时作业] [A组 基础巩固]
1.若a,b∈R,且a+b=10,则a+b的取值范围是( ) A.[-25,25 ] B.[-210,210 ] C.[-10,10 ] D.(-5,5 ]
解析:∵a+b=10,∴(a+b)(1+1)≥(a+b), 即20≥(a+b),∴-25 ≤a+b≤25. 答案:A
2.函数y=22-x+2x-3的最大值是( ) A.3 C.3
解析:y=?2×2-x+2× ≤[2+(2)]?当且仅当232
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3B. 2D.4
??
x-?
2
x-??=6×=3,
3?22?
??
2-x2
+?
??3??2??
12
x-=2·2-x,
5
即x=时等号成立.
3∴y的最大值为3. 答案:C
3.如果实数m,n,x,y满足m+n=a,x+y=b,其中a,b为常数,那么mx+ny的最大值为( ) A.C.
2
2
2
2
a+b2
2
2
2
B.ab D.2
a2+b2
2
a2+b2
2
2
解析:由柯西不等式,得(mx+ny)≤(m+n)(x+y)=ab,当m=n=
a2
,
x=y=
b时,(mx+ny)max=ab. 2
1
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答案:B
?1?2?1?2
4.若a+b=1,则?a+?+?b+?的最小值为( )
?
a?
?b?
A.1 25C. 2
B.2 7D. 2
?1?2?1?2
解析:?a+?+?b+?
?
a?
?b?b1122
=a+2+2+b+2+2.
a∵a+b=1,
12222
∴a+b=(a+b)·(1+1)
2112
≥·(a+b)=, 22112又2+2≥≥abab8a+b2
=8,
1
以上两个不等式都是当且仅当a=b=时,等号成立
2
?1?2?1?2∴?a+?+?b+? ?
a?
?b?
125≥+2+2+8=, 22
125当且仅当a=b=时等号成立,取到最小值.
22答案:C
5.若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形,则长方形ABCD周长的最大值为( ) A.2R C.4R
B.22R D.42R
解析:如图,设内接长方形ABCD的长为x,则宽为4R-x,于是ABCD的周长l=2(x+4R-x)=2(1×x+1×4R-x). 由柯西不等式得
2
2
2
2
2
2
l≤2[x2+(4R2-x)2](12+12)
1
212
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=2×2R×2=42R. 当且仅当x·1=4R2
-x2
·1, 即x=2R时等号成立. 此时4R2
-x2
= 4R2-
2R2
=2R,
即四边形ABCD为正方形,故周长为最大的内接长方形是正方形,其周长为42R. 答案:D
6.若存在实数x使3x+6+14-x>a成立,常数a的取值范围为________. 解析:3x+6+14-x=3×x+2+1×14-x,
由柯西不等式得(3×x+2+1×14-x)2
≤(3+1)·(x+2+14-x)=64, 所以3x+6+14-x≤8,当且仅当x=10时取“=”, 于是,常数a的取值范围是(-∞,8). 答案:(-∞,8)
7.设xy>0,则(x2+42
1y2)·(y+x2)的最小值为________.
解析:原式=??2?
x+??2?y??2?????????1?x??2?
+y2???
≥???
x·1x+2y·y??2
?
=9. 答案:9
8.设实数x, y满足3x2
+2y2
=6,则2x+y的最大值为________.
解析:∵?
?
22
2
??
3
+
1??
[(3x)2+(2y)2]≥(2x+y)2
2
, ∴|2x+y|≤ 116
x2+2y2=11,
当且仅当2×2y=
1
3
2
×3x,
即3x=4y且3x2
+2y2
=6时,等号成立,而此方程组有解. ∴2x+y的最大值为11. 答案:11
29.已知θ为锐角,a,b>0,求证:(a+b)2
≤ab2
cos2 θ+sin2 θ. 证明:设m=?
?a?cos θ,bsin θ???
,n=(cos θ,sin θ),
则|a+b|=|abcos θ·cos θ+sin θ
·sin θ|
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