《概率论与数理统计》
第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系
A?B 则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生
A?B ?{xx?A或x?B}称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中
至少有一个发生时，事件
A?B发生
时，事件
A?B ?{xx?A且x?B}称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生
A?B发生
A—B ?{xx?A且x?B}称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、
B不发生时，事件
A—B发生
A?B??，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时
发生，基本事件是两两互不相容的
互为对立事件
A?B ?S且A?B??，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B
2．运算规则 交换律
A?B?B?A A?B?B?A
?A?(B?C) (A?B)C?A(B?C)
结合律(A?B)?C分配律
A?（B?C）?(A?B)?(A?C)
A?(B?C)?(A?B)(A?C)
—徳摩根律
§3．频率与概率
A?B?A? B A?B?A?B
定义 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率
概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率
1．概率P(A)满足下列条件：
（1）非负性：对于每一个事件A
0?P(A)?1
（2）规范性：对于必然事件S
P(S)?1
nn（3）可列可加性：设
A1,A2,?,An是两两互不相容的事件，有P(?Ak)??P(Ak)（n可以取?）
k?1k?12．概率的一些重要性质： （i）P(?)?0
nn（ii）若
A1,A2,?,An是两两互不相容的事件，则有P(?Ak)??P(Ak)（n可以取?）
k?1k?1（iii）设A，B是两个事件若
A?B，则P(B?A)?P(B)?P(A)，P(B)?P(A) ?1
（iv）对于任意事件A，P(A)（v）P(A)?1?P(A) （逆事件的概率）
（vi）对于任意事件A，B有P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)
§4等可能概型（古典概型）
等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同
若事件A包含k个基本事件，即
A?{ei1]}?{ei2}???{eik}，里
i1，i2,?，ik是1,2，?n中某k个不同的数，则有P(A)??P{eij}?j?1k??kA包含的基本事件数?nS中基本事件的总数
§5．条件概率
（1） 定义：设A,B是两个事件，且P(A)?0，称P(B|A)?P(AB)为事件A发生的条件下事
P(A)件B发生的条件概率
（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件
1非负性：对于某一事件B，有P(B|。A)?0
2规范性：对于必然事件S，P(S。|A)?1
??3可列可加性：设B1,B2,?是两两互不相容的事件，则有P(?Bi?1iA)??P(BiA)
i?1（3） 乘法定理 设P(A)?0，则有P(AB)?P(B)P(A|B)称为乘法公式
n（4） 全概率公式：
P(A)??P(Bi)P(A|Bi)
i?1贝叶斯公式：
P(Bk|A)?P(Bk)P(A|Bk)?P(B)P(A|B)iii?1n
§6．独立性
定义 设A，B是两事件，如果满足等式P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A,B相互独立
定理一 设A，B是两事件，且P(A)?0，若A，B相互独立，则P(B|A)?P?B?
————定理二 若事件A和B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与B，A与B，A与B 第二章 随机变量及其分布 §1随机变量
定义 设随机试验的样本空间为S?{e}. X?X(e)是定义在样本空间
S上的实值单值函数，称
X?X(e)为随机变量
§2离散性随机变量及其分布律
1． 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离
散型随机变量
P(X?xk)?pk满足如下两个条件（1）pk?0，（2）?Pkk?1?=1
2． 三种重要的离散型随机变量
（1）分布
设随机变量
X
只能取
0
与
1
两个值，它的分布律是
k1-kP(X?k)?p（1-p），k?0,1（0?p?1)，则称X服从以p为参数的分布或两点分布。
（2）伯努利实验、二项分布
— 设实验E只有两个可能结果：A与A，则称E为伯努利实验.设P(A)?—p（0?p?1)，此时
P(A)?1-p.将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验。
??n?kn-k（2）?PkP(X?k)???n满足条件（1）pk?0，?k??pq，k?0,1,2，k?1?? =1注意到
?n?kn-knk（p?q）是二项式的展开式中出现p的那一项，我们称随机变量X服从参数为n，p的二??pq?k???项分布。 （3）泊松分布
设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为
P(X?k)??ke-?k!,k?0,1,2?,其中??0是常数，则称
X服从参数为
?的泊松分布记为
X~?（?）§3随机变量的分布函数
定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)?P{X?x},-??x??
称为X的分布函数
分布函数
F(x)?P(X?x)，具有以下性质(1)
F(x)是一个不减函数 （2）
0?F(x)?1，且F(??)?0,F(?)?1 （3）F(x?0)?F(x),即F(x)是右连续的
§4连续性随机变量及其概率密度
连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数有F(x)密度
??f(x)，使对于任意函数x
??f（t）dt,-?x则称x 为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率
1 概率密度
f(x)具有以下性质，满足（1）f(x)?0, (2) ?x2-?f(x)dx?1；
（3）P(x1，（4）若f(x)在点x处连续，则有F(x)?f(x) ?X?x2)??f(x)dx；
x12,三种重要的连续型随机变量
(1)均匀分布
若连续性随机变量X具有概率密度
?1?，a?x?b，则成X在区间(a,b)上服从均匀分布.f(x)??b-a??0，其他记为X ~U（a，b） (2)指数分布
若连续性随机变量X的概率密度为
?1-x??ef(x)?????0，x.?0，其他 其中?则称X服从参数?0为常数，
为?的指数分布。 （3）正态分布
概率论与数理统计知识点总结(详细)
