第十二章 微分方程
§12-1 微分方程的基本概念
一、判断题
1.y=ce2x(c的任意常数)是y?=2x的特解。 ( ) 2.y=(y??)3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题
1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c1+c2x)e2x中满足y三、选择题
1．下列方程中 是常微分方程 （A）、x2+y2=a2
x=0=0,
y?x=0=1的曲线是 。
?2a?2adarctanx (B)、 y+、y??=x2+y2 (e)?0 (C)、2+2=0 （D）
?xdx?y2.下列方程中 是二阶微分方程
（A）（y??）+x2y?+x2=0 (B) (y?) 2+3x2y=x3 (C) y???+3y??+y=0 (D)y?-y2=sinx
d2y2
3.微分方程+wy=0的通解是 其中c.c1.c2均为任意常数 2dx（A）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c1coswx+c2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C是任意常数，则微分方程y?=3y的一个特解是
（A）y-=(x+2)3 (B)y=x3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1．y?Cx?C（其中C为任意常数） 2.y?C1e222x23?C2e3x（其中C1,C2为任意常数）
五、质量为m的物体自液面上方高为h处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
12-2 可分离变量的微分方程
一、求下列微分方程的通解
1． sec2.tacydx+sec2ytanxdy=0
2． (x+xy2)dx-(x2y+y)dy=0
3． (ex+y-ex)dx+(ex+y-ey)dy=0
4． y?=cos(x-y).(提示令.x-y=z)
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解
1． cosydx+(1+e-x)sinydy=0. y
x=0=
? 42.
secxdy?xdx.y21?yx?3?2??1
三 、设f(x)=x+?x0f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)
四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。
五、船从初速v0=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。
12-3 齐次方程
一、求下列齐次方程的通解 1 xy?-xsin
yyy?0 2 (x+ycos)dx-xcosdy=0 xxx
二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解 1．xy
dy22
=x+y yaxx=e=2e 2.x2dy+(xy-y2)dx=0yx=1=1
三、求方程：（x+y+1）dx=(x-y+1)dy的通解
四、设有连结点O(0，0)和A（1，1）一段向上凸的曲线孤OA对于OA上任一点 P（x，y）,曲线孤与OP直线段OP所围图形的面积为x2，求曲线孤OA的方程。
?
????
12.4 一阶线性微分方程
一、求下列微分方程的通解
1.xy?+y=xex 2.y?+ytanx=sin2x 3.y?+
二、求下列微分方程满足初始条件的特解 1．y?cosy+siny =x y
三、已知f(?),曲线积分?a?sinx?f(x)?bdyy1sinx? 4. y?dxx?y3eyxxx?0??4 2.(2x+1)eyy?2ey=4 y
x?0?0
ydx?f(x)dy与路径无关，求函数f(x). x
四、质量为M 0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。
五、 求下列伯努利方程的通解
1．y′+
1y?x2y5 2. xy′+y-y2lnx=0 x
高等数学微分方程试题
