16、已知四棱锥
EABCD的底面为菱形，且ABC
60，AB
o
EC2,
AEBE2,O为AB的中点.
EO
平面ABCD；
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求点
D到面AEC的距离．
答案
是边长为2的菱形，1、如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD
，棱AA1与底面所成的角为
(I)证明：OF//平面(II)求三棱锥
解：（I）
，，侧棱
，点F为DC1的中点.
；的体积.
BD
O，
O是BD的中点 .
四边形ABCD为菱形且AC
又点F为
DC1的中点, BCC1B1 ,
在
DBC1中，OF//BC1,
OF
平面
BCC1B1，
BC1
（II）
平面
OF//平面BCC1B1.
四边形ABCD为菱形,
BDAC, 又BD
BD
AA1，
平面
AA1
BD
在平面
AC
A,且AA1,AC
平面
ACC1A1 ,
平面
ACC1A1,
平面ABCD , 平面ABCDACC1A1. 平面ABCD，60.
AC1内过A1作A1MAC于M，则A1M
A1AM23，2
A1AM是A1A与底面所成的角，
在
RtAAM中,AM11
C1
BCDC1
A1Asin60
故三棱锥底面BCD上的高为
3，又S
13
1
BCD
2
BCCDsin602. .
3，
所以，三棱锥
BCD的体积V
13
SBCDh323
2、如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC6，BDE是PB上任意一点．
(1) 求证：ACDE；(2) 当AEC面积的最小值是9时，证明EC平面PAB．
解：（1）证明：连接所以ACBD。
63，
BD，设AC与BD相交于点F。因为四边形ABCD是菱形，
又因为PD平面ABCD，AC平面PDB
E为PB上任意一点，DEDE平面PBD，所以AC
（2）连ED．由（I），知AC平面PDB，EF平面PBD，所以AC
EF．
SS
1
ACE
29,
ACEF,在ACE面积最小时，EF最小，则EF126EF
9，解得EFAC得PB3得EC
3
EC，
PB．
ACE
由PB又由
EF且PB平面AEC,则PB
EFAFFCAE，而PBAEE，故EC平面PAB。
3、在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2．（1）求证：BC⊥PC；
（2）求证：EF//平面PDC；（3）求三棱锥B—AEF的体积。
解：（Ⅰ）∵四边形∴BC
PD,
ABCD是正方形∴BC
DC=D ∴BC
DC 又PD
面ABCD, BC
PC
面ABCD
又PD
面PDC 从而BC
（Ⅱ）取PC的中点G，连结EG，GD，则∴四边形EFGD是平行四边形。∴EF//平面PDC。
1
EG//BC，所以GE//DF.
2
又EF
∴EF//GD,
平面PDC，DG平面PDC
1
（Ⅲ）取BD中点O，连接EO，则ＥO//PD，∵PD⊥平面ABCD，
∴EO⊥底面ABCD，EO
VB
AEF
VE
ABF
1
SABFOE3112
213413
4、如图所示,三棱柱ABC又AAC11
BAC1
A1B1C1中,AB
AC
AA1
2,平面ABC1平面A1ACC1,
60,AC1与A1C相交于点O.
(Ⅰ)求证:BO
平面A1ACC1;(Ⅱ)求AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值;
AA1
2,
AAC11
60,所以
AA1C1为正三角形,所以AC1
2
【解】(Ⅰ)由题知AC
又因为AB又平行四边形所以BO且BO
2,且
BAC1
60，所以BAC1为正三角形,
O,所以O为AC1的中点,
平面A1ACC1
A1ACC1的对角线相交于点
AC1，又平面ABC1
平面BAC1，所以BO
平面A1ACC1,且平面ABC1平面A1ACC1
AC1,
(Ⅱ)〖解法一〗连结
所以EF而在等边
A1B交AB1于E,取A1O中点F,连结EF,AF,则EF
平面A1ACC1,EF
BO,又BO
平面A1ACC1
AF, 所以直线AB1与平面A1ACC1所成角为
3,EF
2
EAF.
BAC1中,AB
3,A1F
2,所以BO
32
,在
3
, 2AA
21
同理可知,A1O
中,AE
AA1F中,AF
A1F
2
2AA1A1Fcos30
74
所以RtEFA
EF
2
AFBB1
2
10
,sinEAF2CC1,BB1
EFAE30
.所以AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值为10
平面A1ACC1,
30. 10
〖解法二〗由于
平面A1ACC1,所以BB1
所以点B1到平面A1ACC1的距离即点由BO
B到平面A1ACC1的距离,
平面A1ACC1,所以B1到平面A1ACC1的距离即BO,
也所以AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值为
sin
BOAB1
2
, 而在等边
BAC1中,AB2,所以BO3,
同理可知,AO1又易证OC1
3
OC,所以BC
BO
2
OC
6,B1C1B1C1,AB1
6B1C
2
1
平面BAC,所以OC1
BC,也所以OC
AC
2
1
10
所以sin
BOAB1
310
30
，即AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值为1030. 10
ABCD中，AB//CD，ADDCCB2，CAB
ACFE平面ABCD，CF3．（Ⅰ）求证：BC平面ACFE；（Ⅱ）设点M为EF中点，求二面角B
5、如图，在梯形(1)证明：
30，四边形ACFE为矩形，平面AM
C的余弦值．
2
ADDCCB2,ABC60，则AB4，AC
2
12，则得AB
AC
BC
AC
2
BC
2
BCAC，面ACEF平面ABCD，面ACEF平面ABCD平面ACEF．
（II）过C作CH
cosCHB
313
13
AM交AM于点H，连BH,则CHB为二面角BAM
C的余弦值为
AMC的平面角，在RTBHC中，
CH3,HB13，则二面角B
313
13
6、已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为2．M为线段PC的中点．
(Ⅰ) 求证：PA∥平面MDB；
(Ⅱ）N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．(Ⅰ)证明：在四棱锥
中，连结AC交BD于点O，连结OM，PO．由条件可得P－ABCD
＝PO
＝22，PA＝2，AC
PC＝2，CO＝AO＝
为△PAC的中位线，得OM∥AP，2．因为在△PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点，所以OM
又因为AP平面MDB，OM平面MDB，所以PA∥平面MDB．
(Ⅱ) 解：设NC∩MO＝E，由题意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90°．因为M为PC的中点，所以同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD．所以直线的角，又因为故直线
PC⊥BM，CPNP
CN在平面BMD内的射影为直线OM，∠MEC为直线CN与平面BMD所成
2，
∥PA，所以∠PNC＝∠MEC．在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以tan∠PNC＝OM
所成角的正切值为2 CN与平面BMD
7、如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求证：BC⊥A1D；(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.
解：(1)因为A1O⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥A1O，因为BC⊥CD，A1O∩CD＝O，∴BC⊥面A1CD.
因为A1D?面A1CD，∴BC⊥A1D.
(2)连结BO，则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角.
因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC＝B，∴A1D⊥面A1BC.A1C?面A1BC，∴A1D⊥A1C.
1112
在Rt△DA＝3，CD＝5，∴A1C＝4.根据S△A1CD＝A1D·A1C＝A1O·CD，得到A1O＝，1C中，A1D
225
12
12A1O512
在Rt△A1OB中，sin∠A1BO＝＝＝.所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为.
A1B525258、如图，四棱锥
中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE。P-ABCD∥AB
（1）求证：CE⊥平面PAD；（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=
=45°，求四棱锥P-ABCD的体积2，∠CDA
解：（I）证明：因为所以PA⊥CE，
PA⊥平面ABCD，CE平面ABCD，
因为AB∥AD，CE⊥AB，所以CE⊥AD又PA∩AD=A，所以CE⊥平面PAD
（II）由（I）可知CE⊥AD在Rt△ECD中，DE=CD，cos45°=1，CE=CD，sin45°=1，
又因为AB=CE=1，AB∥CE 所以四边形ABCE为矩形
所以
又PA⊥平面ABCD，PA=1
=
所以
9、如图，在直三棱柱中，
与
所成的角；
90°,,是的中点.
（Ⅰ）求异面直线（Ⅱ）若
为
上一点，且，求二面角的大小.
解法一：（Ⅰ）取∴
的中点，连与
，则所成的角.
∥，
或其补角是异面直线
设∴∵在∴异面直线
中，
与
，则
.
，.
.
所成的角为
.
是直三棱柱，∴
平面
，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为三棱柱又∵
? ∴
.
∴.? ∴～.∴.
即得，所得是的中点.
高考数学大题专练之立体几何 - 图文
