立体几何专练
1、如图，棱柱ABCD—A1B1C是边长为2的菱形，1D1的底面ABCD
，棱AA1与底面所成的角为
(I)证明：OF//平面(II)
求三棱锥
；的体积.
，，侧棱
，点F为DC1的中点.
（思考证线面平行的方法）（思考一下锥体的体积公式）
2、如图，在四棱锥P
上任意一点．(1) 求证：AC(2) 当
ABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC
P
6，BD63，E是PB
DE；
9时，证明EC
平面PAB．
AEC面积的最小值是
（线面垂直的证明，试试用两种方法做）
E
D
C
AB
3．如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2．（1）求证：BC⊥PC；（2）求证：EF//平面PDC；（3）求三棱锥B—AEF的体积。
4、如图所示,三棱柱ABC
A1B1C1中,AB
AC
AA12,平面ABC1平面A1ACC1,
又
AAC11BAC1
60,AC1与A1C相交于点O.
(Ⅰ)求证:BO
平面A1ACC1;
(Ⅱ)求AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值;
ABCD中，AB//CD，ADDCCB2，CABACFE平面ABCD，CF3．（Ⅰ）求证：BC平面ACFE；（Ⅱ）设点M为EF中点，求二面角B
5、如图，在梯形
30，四边形ACFE为矩形，平面AM
C的余弦值．
6、已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为
(Ⅰ) 求证：PA∥平面MDB；
(Ⅱ） N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．
2．M为线段PC的中点．
7、如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求证：BC⊥A1D；(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.
8、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。
（1）求证：CE⊥平面PAD；（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=
=45°，求四棱锥P-ABCD的体积2，∠CDA
9、如图，在直三棱柱（Ⅰ）求异面直线（Ⅱ）若G为
ABCA1B1C1中，BAC90°，ACABAA1,E是BC的中点.
AE与A1C所成的角；
C1C上一点，且EGA1C，求二面角A1
AGE的大小.
10、如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角为60的二面角，连结结PE得到如下图（图
（1）求证：平面
PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连2）的一个几何体．PAB平面PCD；
P-AB-D
P
（2）求PE与平面PBC所成角的正弦值．
A
E
D
P
A
D
B
C
11、如图，已知矩形ACEF的边CE与正方形ABCD所在平面垂直，AB
EF的中点。
2，AF1，M是线段
(1)求异面直线CM与直线AB所成的角的大小；(2)求多面体EFABCD的表面积。
12、如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，PA=2,过点A作
AE⊥PB,AF⊥PC,连接EF．（1）求证：PC⊥面AEF；
（2）若面AEF交侧棱PD于点G（图中未标出点G）,求多面体P—AEFG的体积。
13、如图，在四棱锥
PABCD中，PD
平面
ABCD，四边形ABCD是菱形，AC6，BD63，E是
PB上任意一点。
（1）求证：ACDE；（2）当AEC面积的最小值是
若存在？求出
9时，在线段
BC上是否存在点G，使EG与平面PAB所成角的正切值为
2？
BG的值，若不存在，请说明理由
14、如图，已知直四棱柱
ABCDA1B1C1D1，底面ABCD为菱形，DAB120，
D1
C1
E为线段CC1的中点，F为线段BD1的中点．
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）当
EF∥平面ABCD；
的比值为多少时，
A1
平面
D1DAD
B1
E
F
DF
D1EB，
并说明理由．
D
C
B
A
15、如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，
BAC30，BM
0
AC交 AC 于点 M，EA平面ABC，
FC
EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．
（I）证明：EM⊥BF；
（II）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值
．
16、已知四棱锥
EABCD的底面为菱形，且ABC
60，AB
o
EC2,
AEBE2,O为AB的中点.
EO
平面ABCD；
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求点
D到面AEC的距离．
答案
是边长为2的菱形，1、如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD
，棱AA1与底面所成的角为
(I)证明：OF//平面(II)求三棱锥
解：（I）
，，侧棱
，点F为DC1的中点.
；的体积.
BD
O，
O是BD的中点 .
四边形ABCD为菱形且AC
又点F为
DC1的中点, BCC1B1 ,
在
DBC1中，OF//BC1,
OF
平面
BCC1B1，
BC1
（II）
平面
OF//平面BCC1B1.
四边形ABCD为菱形,
BDAC, 又BD
BD
AA1，
平面
AA1
BD
在平面
AC
A,且AA1,AC
平面
ACC1A1 ,
平面
ACC1A1,
平面ABCD , 平面ABCDACC1A1. 平面ABCD，60.
AC1内过A1作A1MAC于M，则A1M
A1AM23，2
A1AM是A1A与底面所成的角，
在
RtAAM中,AM11
C1
BCDC1
A1Asin60
故三棱锥底面BCD上的高为
3，又S
13
1
BCD
2
BCCDsin602. .
3，
所以，三棱锥
BCD的体积V
13
SBCDh323
2、如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC6，BDE是PB上任意一点．
(1) 求证：ACDE；(2) 当AEC面积的最小值是9时，证明EC平面PAB．
解：（1）证明：连接所以ACBD。
63，
BD，设AC与BD相交于点F。因为四边形ABCD是菱形，
又因为PD平面ABCD，AC平面PDB
E为PB上任意一点，DEDE平面PBD，所以AC
（2）连ED．由（I），知AC平面PDB，EF平面PBD，所以AC
EF．
SS
1
ACE
29,
ACEF,在ACE面积最小时，EF最小，则EF126EF
9，解得EFAC得PB3得EC
3
EC，
PB．
ACE
由PB又由
EF且PB平面AEC,则PB
EFAFFCAE，而PBAEE，故EC平面PAB。
3、在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2．（1）求证：BC⊥PC；
（2）求证：EF//平面PDC；（3）求三棱锥B—AEF的体积。
解：（Ⅰ）∵四边形∴BC
PD,
ABCD是正方形∴BC
DC=D ∴BC
DC 又PD
面ABCD, BC
PC
面ABCD
又PD
面PDC 从而BC
（Ⅱ）取PC的中点G，连结EG，GD，则∴四边形EFGD是平行四边形。∴EF//平面PDC。
1
EG//BC，所以GE//DF.
2
又EF
∴EF//GD,
平面PDC，DG平面PDC
1
（Ⅲ）取BD中点O，连接EO，则ＥO//PD，∵PD⊥平面ABCD，
∴EO⊥底面ABCD，EO
VB
AEF
VE
ABF
1
SABFOE3112
213413
4、如图所示,三棱柱ABC又AAC11
BAC1
A1B1C1中,AB
AC
AA1
2,平面ABC1平面A1ACC1,
60,AC1与A1C相交于点O.
(Ⅰ)求证:BO
平面A1ACC1;(Ⅱ)求AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值;
AA1
2,
AAC11
60,所以
AA1C1为正三角形,所以AC1
2
【解】(Ⅰ)由题知AC
又因为AB又平行四边形所以BO且BO
2,且
BAC1
60，所以BAC1为正三角形,
O,所以O为AC1的中点,
平面A1ACC1
A1ACC1的对角线相交于点
AC1，又平面ABC1
平面BAC1，所以BO
平面A1ACC1,且平面ABC1平面A1ACC1
AC1,
(Ⅱ)〖解法一〗连结
所以EF而在等边
A1B交AB1于E,取A1O中点F,连结EF,AF,则EF
平面A1ACC1,EF
BO,又BO
平面A1ACC1
AF, 所以直线AB1与平面A1ACC1所成角为
3,EF
2
EAF.
BAC1中,AB
3,A1F
2,所以BO
32
,在
3
, 2AA
21
同理可知,A1O
中,AE
AA1F中,AF
A1F
2
2AA1A1Fcos30
74
所以RtEFA
EF
2
AFBB1
2
10
,sinEAF2CC1,BB1
EFAE30
.所以AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值为10
平面A1ACC1,
30. 10
〖解法二〗由于
平面A1ACC1,所以BB1
所以点B1到平面A1ACC1的距离即点由BO
B到平面A1ACC1的距离,
平面A1ACC1,所以B1到平面A1ACC1的距离即BO,
也所以AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值为
sin
BOAB1
2
, 而在等边
BAC1中,AB2,所以BO3,
同理可知,AO1又易证OC1
3
OC,所以BC
BO
2
OC
6,B1C1B1C1,AB1
6B1C
2
1
平面BAC,所以OC1
BC,也所以OC
AC
2
1
10
所以sin
BOAB1
310
30
，即AB1与平面A1ACC1所成角的正弦值为1030. 10
ABCD中，AB//CD，ADDCCB2，CAB
ACFE平面ABCD，CF3．（Ⅰ）求证：BC平面ACFE；（Ⅱ）设点M为EF中点，求二面角B
5、如图，在梯形(1)证明：
30，四边形ACFE为矩形，平面AM
C的余弦值．
2
ADDCCB2,ABC60，则AB4，AC
2
12，则得AB
AC
BC
AC
2
BC
2
BCAC，面ACEF平面ABCD，面ACEF平面ABCD平面ACEF．
（II）过C作CH
cosCHB
313
13
AM交AM于点H，连BH,则CHB为二面角BAM
C的余弦值为
AMC的平面角，在RTBHC中，
CH3,HB13，则二面角B
313
13
6、已知正四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2 的正方形，高为2．M为线段PC的中点．
(Ⅰ) 求证：PA∥平面MDB；
(Ⅱ）N为AP的中点，求CN与平面MBD所成角的正切值．(Ⅰ)证明：在四棱锥
中，连结AC交BD于点O，连结OM，PO．由条件可得P－ABCD
＝PO
＝22，PA＝2，AC
PC＝2，CO＝AO＝
为△PAC的中位线，得OM∥AP，2．因为在△PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点，所以OM
又因为AP平面MDB，OM平面MDB，所以PA∥平面MDB．
(Ⅱ) 解：设NC∩MO＝E，由题意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90°．因为M为PC的中点，所以同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD．所以直线的角，又因为故直线
PC⊥BM，CPNP
CN在平面BMD内的射影为直线OM，∠MEC为直线CN与平面BMD所成
2，
∥PA，所以∠PNC＝∠MEC．在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以tan∠PNC＝OM
所成角的正切值为2 CN与平面BMD
7、如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求证：BC⊥A1D；(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.
解：(1)因为A1O⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥A1O，因为BC⊥CD，A1O∩CD＝O，∴BC⊥面A1CD.
因为A1D?面A1CD，∴BC⊥A1D.
(2)连结BO，则∠A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角.
因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC＝B，∴A1D⊥面A1BC.A1C?面A1BC，∴A1D⊥A1C.
1112
在Rt△DA＝3，CD＝5，∴A1C＝4.根据S△A1CD＝A1D·A1C＝A1O·CD，得到A1O＝，1C中，A1D
225
12
12A1O512
在Rt△A1OB中，sin∠A1BO＝＝＝.所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为.
A1B525258、如图，四棱锥
中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE。P-ABCD∥AB
（1）求证：CE⊥平面PAD；（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=
=45°，求四棱锥P-ABCD的体积2，∠CDA
解：（I）证明：因为所以PA⊥CE，
PA⊥平面ABCD，CE平面ABCD，
因为AB∥AD，CE⊥AB，所以CE⊥AD又PA∩AD=A，所以CE⊥平面PAD
（II）由（I）可知CE⊥AD在Rt△ECD中，DE=CD，cos45°=1，CE=CD，sin45°=1，
又因为AB=CE=1，AB∥CE 所以四边形ABCE为矩形
所以
又PA⊥平面ABCD，PA=1
=
所以
9、如图，在直三棱柱中，
与
所成的角；
90°,,是的中点.
（Ⅰ）求异面直线（Ⅱ）若
为
上一点，且，求二面角的大小.
解法一：（Ⅰ）取∴
的中点，连与
，则所成的角.
∥，
或其补角是异面直线
设∴∵在∴异面直线
中，
与
，则
.
，.
.
所成的角为
.
是直三棱柱，∴
平面
，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为三棱柱又∵
? ∴
.
∴.? ∴～.∴.
即得，所得是的中点.
连结平面而
，设是的中点，过点? ∴，∴
作平面是二面角
.
于，连结
，则
.又∵
平面，∴
的平面角.
由即二面角∴所求二面角解法二：（Ⅰ）如图分别以系设
.
、的为
得
.
为
.
.
、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标
，则
，
、、、、. ∴
∴.
∴异面直线（Ⅱ）设由∴
得.
与所成的角为，则
，知
.，，
设平面的一个法向量为，则，∵，∴
，取，得.
易知平面的一个法向量，∴.
∴二面角的大小为. （
arctan5）.
P-AB-D
10、如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角为60的二面角，连结
（1）求证：平面
PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图（图PAB平面PCD；
2）的一个几何体．
（2）求PE与平面PBC所成角的正弦值．
P
P
A
D
A
E
B
C
D
B
C
解：（1）证明：
ABPAD
PA,AB
AD，又二面角P-AB-D为60
AP
PD
60，又AD=2PA
AB
有平面图形易知：
平面APD，又PD平面APD，
ABPD，
AP,AB
PD
平面ABP，且AP
ABA
平面PAB平面PCD
平面PAB，又PD平面PCD，
AE//平面PBC
（2）设E到平面PBC的距离为h，
所以A 到平面PBC的距离亦为h连结AC，则VP
ABC
VA
13
PBC
，设PA=2
13h
12
22
3=
12
27h
P
A
E
B
C
2217
，设PE与平面PBC所成角为
D
23
sin
h
PE
73
277
11、如图，已知矩形点。
ACEF的边CE与正方形ABCD所在平面垂直，AB2，AF1，M是线段EF的中
(1)求异面直线CM与直线AB所成的角的大小；(2)求多面体EFABCD的表面积。解：（1）因为CD//AB，所以
CMD即为异面直线CM与AB所成的角（或其补角）。
连结MD，在又
CEM中，CE
EM1,所以CM
2
2，2，所以
CDM是等边三角形，
DEDF
CMD
3，所以
DMDFMF
2
所以
60，即异面直线CM与AB所成的角为60；1
22
1
DEF
（2）S
ABF
2
21
,S
2
22
2，SABCD
2
S表4SABF
连接EF．
2SDEFSABCD
422。
12、如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，PA=2,过点A作AE⊥PB,AF⊥PC,
（1）求证：PC⊥面AEF；
（2）若面AEF交侧棱PD于点G（图中未标出点解析：（1）证明：
∴ BC⊥AE面AEF．
（2）PC⊥面AEF, ∴ AG⊥PC, 直角三角形，由（
AG⊥DC ∴PC∩DC=C AG⊥面
PDC, ∵GF在面PDC内∴AG⊥GF
△AGF是
G）,求多面体P—AEFG的体积。
PAB，又∵AE在面PAB内AE⊥PC, AE∩AF=A, ∴PC⊥
AE⊥PC,
PA⊥面ABCD,BC在面内，∴ PA⊥BC BA⊥BC,BC∩BA=B,∴BC⊥面
AE⊥PB,BC∩PB=B,,∴AE⊥面PBC又∵PC在面PBC内
1）可知△AEF是直角三角形，新课标第一网
AE=AG=
2,EF=GF=
1
233
63
∴SAEF
33
, SAGF
33
又AF=
263
,PF=
233
∴SAEFG
233
,∴
VP
233
49
AEFG
3
13、如图，在四棱锥
PABCD中，PD
平面
ABCD，四边形ABCD是菱形，AC
6，BD63，E是
PB上任意一点。
ACDE；
（2）当AEC面积的最小值是9时，在线段BC上是否存在点G，使EG与平面PAB所成角的正切值为
若存在？求出BG的值，若不存在，请说明理由
（1）求证：
2？
解：（1）证明：连接
因为四边形
BD，设AC与BD相交于点F。
ABCD是菱形，所以ACBD。
又因为PD平面ABCD，AC平面PDB
E为PB上任意一点，DE
平面PBD，所以
ACDE
（2）连ED．由（I），知
AC
平面PDB，EF平面PBD，所以
ACEF．
SS
1
ACE
29,
ACEF,在ACE面积最小时，EF最小，则EF16EF
9，解得EF
PB．
ACE
AC得PB平面AEC,则PBEC，又由EFAFFC3得ECAE，而PBAEE，故EC平面PAB作GH//CE交PB于点G，则GH平面PAB,所以GEH就是EG与平面PAB所成角. 在直角三角形CEB中，BC6,EC32,EB32
由PB所以由
2
EF且PB
3
CEB
45，设BG
x，则BH
24x。
HG
22
x。
tanGEH
HB
2得EH
EB得x
由EH4，即BGABCD
4
DAB
120，
14、如图，已知直四棱柱
A1B1C1D1，底面ABCD为菱形，
E为线段CC1的中点，F为线段BD1的中点．
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）当
EF∥平面ABCD；
的比值为多少时，
D1DAD
DF
平面
D1EB，并说明理由．
因为点E为CC1的中点．
（Ⅰ）证明：连接在又
A,C1,由题意可知点F为AC1的中点．
ACC1中，EF
EF
AC．……………………………………………………………２分
面ABCD，
EF
面ABCD．……………………６分
面ABCD，AC
（Ⅱ）当
D1DAD
3时，DF
平面D1EB．
DAB
120，
………………………………………７分
四边形ABCD为菱形，且四棱柱又
BD3AD．
ABCD3AD，
A1BC11D1为直四棱柱，BD
DD1，
DF
D1B
四边形
DBB1D1为矩形．
DD1
四边形
DBB1D1为正方形，ABCD
……………………10分
在直四棱柱
A1BC11D1中，DD1
BD．
1
1
底面ABCD，AC面ABCD，AC
DD1
四边形ABCD为菱形，AC
DD1DFEF
面DBBD，BD,
1
1
面DBBD，BD
DF，又EF
DD1
AC，
D，
EF
AC
面DBB1D1．
13分
面DBB1D1，面D1EB,D1B
AC
DF．…………………
面D1EB,EFD1B
F,DF
BAC
平面D1EB．
30，BM
0
15、如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，
AC交 AC 于点 M，EA平面ABC，
FCEA，AC＝4，EA＝3，FC＝1．
（I）证明：EM⊥BF；
（II）求平面 BEF 与平面ABC 所成的二面角的余弦值
．
EMF
90，即EM
MF而BFEM
BM
M，
平面MBF，
MF（也可由勾股定理证得）．EM平面MBF．
分
BF．………………………………………………………………………………６
（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CHBG，连结FH．
由（1）知FCFC而FC
BG．CHBG，
C，
BG
平面FCH．
平面FCH，
平面ABC，BG
平面ABC，
FH
FH
FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．……………………８分在RtABC中，
BAC
30，AC
4，
BM
由
ABsin30GCGA
13
3．
2．
FCEA
，得GC
GCBG
CHBM
，则CH
GCBM
BG
23
23
1．
FCH是等腰直角三角形，FHC45．
22
．
平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
16、已知四棱锥EABCD的底面为菱形，且
ABC
60，AB
o
EC2,
AEBE2,O为AB的中点.
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求点
EO平面ABCD；
D到面AEC的距离．EB
2,AB
的中点
（I）证明：连接CO
QAE2
VAEB为等腰直角三角形
QO为AB
EO
又Q
AB,EO1……………………2分
ABBC,ABC60
o
VACB是等边三角形
CO
又EC
3，………………………………
2,EO
2
2
4分
ECCO，即
2
EOCO
平面ABCD……………………6分
（II）设点D到面AEC的距离为h
QAE
2,AC
EC
2
SVAEC
721
…………8分
EO
QSVADC
QVD
AEC
3,E到面ACB的距离EOVE
ADC
SVAECh
h
2217
SVADCEO
………………………………10分
点D到面AEC的距离为
2217
高考数学大题专练之立体几何 - 图文
