华东交通大学2008—2009学年第一学期考试卷专业 班级 学号 学生签名： 试卷编号： （A）卷 承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。 《高等数学(A)Ⅰ》 课程 (工科本科08级) 课程类别：必 闭卷（√） 考试时间：2009.1.10 题号 一 二 1 分值 10 15 阅卷人 (全名) 考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。 三 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 1 9 四 2 9 五 总分 7 8 一、填空题(每题2分，共10分) ?ex?2， x?0在x?0处连续，1、 设f(x)?? 则a?_____3 a?x， x?0?2、 设f?(1)?3， 则得分 年 评阅人 limx?0f(1)?f(1?2x)6?_________ x33 3、 函数f(x)?x?9x?2在[0， 3]上满足罗尔定理的??________4、 设f(x)在[?1， 1]上为偶函数， 则? 1 ?12x[x?f(x)]dx?______3 y??cosx_________?C1x?C25、 微分方程y???cosx的通解为__________ 二、选择题(每题 3分，共15分) 1、 得分 评阅人 limx??(xsin2sin2x?)?( C ) xx A. 4 B. 3 C. 2 D. 1?x?cost?cos2t?2、 曲线?上在对应t?点处的法线斜率为( A )4y?1?sint ? A. 1?2 B. 2?1 C. ?1?2 D. 1?2第 1 页 共 6 页
3、 不定积分xsinx2dx?( D )?11 A. cosx?C B. ?cosx?C C. cosx2?C D. ?cosx2?C2222 4、 由曲线x?y、 直线y?1及y轴围成图形绕y轴旋转一周所得立体体积为( B ) ??12 A. B. C. D. 52335、 极限limx?0? 0 xe?tdtx2?( C ) A. 1 B. 0 C. ?1 D. ?2三、解答题(每题 7分，共49分) 1、 设limx??x??2x2?x(?ax?b)?6， 求a、 b. x?1得分 评阅人 解 lim?2x2?x(?ax?b) x?1limx??(2?a)x?(1?a?b)x?b x?12 ?6 ?2?a?0 ? 1?a?b?6? b??3 a?2， 求极限 2、 解 原式?limx?0[11?]. xln(x?1)得分 评阅人 limx?0ln(x?1)?x xln(x?1) ?limx?01?1x?1xln(x?1)?x?1?1 ?limx?0(x?1)2 11?x?1(x?1)2 ??1 2第 2 页 共 6 页
sinx 3、 设y?(cosx)， 求dy. 得分 评阅人 解 两边取对数得lny?sinxlncosx 1?sinxy??cosxlncosx?sinx ycosxsinx y??(cosx)(cosxlncosx?sinxtanx) dy?y?dx ?(cosx) sinx(cosxlncosx?sinxtanx)dx 求不定积分 4、?x?4dx. x2得分 评阅人 则dx?2secttantdt 解 令x?2sect， 原式??2tant2secttantdt 2sect ?2tantdt ?2(sect?1)dt ?2(tant?t)?C ? 第 3 页 共 6 页
?2?2x2?4?2arccos2?C x5、 求定积分xlnxdx. 11 e 解 原式? lnxdx3 3 1? e2得分 评阅人 ? ? ? ?131e(xlnx)1?33131e?33? e 1x3dlnx ? e 1x2dx e11313e?x393 2e?1 ? 9 x1 求曲线y??lnx在区间[1， 2]上的长度. 6、42 解 y?? s? ? ? ? 第 4 页 共 6 页
2得分 评阅人 x1 ?22x 2 1?1?y?2dx ? 2 111(x?)dx 2x1122 (x?lnx)12231?ln2 42 7、 求微分方程y?? 解 令u?yyln满足yxxx?1?e2的特解. 得分 评阅人 y x11du?dx 则 u(lnu?1)x11du?dx u(lnu?1)x ln(lnu?1)?lnx?lnC ?? 通解 y?xe 由yx?1Cx?1 ?e2得 C?1 x?1 特解 y?xe 四、综合题(每题 9分，共18分) 1、 求函数f(x)?xe 解 f?(x)?e?2x?2x的极值及该函数图形的拐点. ?2x得分 评阅人 ?2xe 令f?(x)?0得 x? 当x? 当x?1 211时， f?(x)?0， 当x?时， f?(x)?0 22111时f(x)取极小值， 极小值为f()?e?1 222?2x f??(x)??4e?4xe?2x 令f??(x)?0得 x?1 f??(x)?0， 当x?1时， f??(x)?0 当x?1时， 拐点为(1， e) 第 5 页 共 6 页
?22、 求微分方程y???6y??8y?(x?1)e的通解. 2 解 特征方程为 r?6r?8?0 4x得分 评阅人 r2?4 ? r1?2， y???6y??8y?0的通解Y?C1e22x?C2e4x ??4为r?6r?8?0的单根 可设y*?x(ax?b)e4x 4ax?2a?2b?x?1 把y*代入原方程得?4a?1 ? 2a?2b??1? a?， b??143 4344x y*?x(x?)e14 通解y?x(x?)e4x?C1e2x?C2e4x 五、证明题(8分) 1、 设f(x)在[0， 1]上连续， 证明：得分 评阅人 1434 ? ?2 0f(sinx)dx?? ?2 0f(cosx)dx x2、 证明当x?0时， 1?x?1与等价.2 证 令x??2?t， 则dx??dt 证 limx?01?x?1 x221?x?1 ? ?2 0f(sinx)dx??? 0 0 ?2f(cost)(?dt) ?limx?0?2 ??f(cosx)dx ?1 与 故 1 ? x ? 1 等价 2
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高等数学1试题及答案
