第四节
第二章
隐函数和参数方程所 确定的函数的导数
一、隐函数的导数
二、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法:
两边对 x 求导
y?的方程) (含导数
例1. 设
求
解: 方程两边对 x 求导
解得
dyydx??x?ey?x?ey?0?例2. 求由方程
在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
得
dydy6?1?21x?05y?2dxdx6dy1?21x??4dx5y?24因 x = 0 时 y = 0 , 故
例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x2?y?y??08939x?y?x?2??x?2??416y33y?3y?32233故切线方程为 y?3??(x?2)24即
例4. 求由方程 的二阶导数
所确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导，得
上式两边对 x 求导，得
例5. 求
的导数 .
对数求导法
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
?1sinxy??cosx?lnx?yxsinxsinxy??x(cosx?lnx?)xv说明: 1)对幂指函数 y?u可用对数求导法求导 :
(1) 两边取对数；(2) 然后用隐函数求导法. 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
(x?1)(x?2)例6 求y?的导数.解：两边取对数(x?3)(x?4)
(lnu)??u?ulny?12?lnx?1?lnx?2?lnx?3?lnx?4?对 x 求导 y?y?12?1x?1?1x?2?1x?3?1x?4??1x?1?1x?2?11x?3?x?4?二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程 关系,
可导, 且
可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
??(t)?0时, 有
dydydtdy1??(t)yt???????dxdtdxdtdx??(t)xt?dt??(t)?0时, 有
dxdxdtdx1??(t)xt???????dydtdydtdy??(t)yt?dt(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且 可求二阶导数 .
x??(t)利用新的参数方程
dy??(t)?dx??(t),可得
dyd(dy)??2dxdxdx2ddy()dtdxdxdt例7. 求由 x?acost,y?bsint所确定函数 y 对 x的导数.
解：dydydtdx?dxdt??bsint???acost???bcost?asint??bacott x?f?(t)dy例8. 设 y?tf?(t)?f(t), 且 f??(t)?0,求 2.dxdy??????f(t)?tf(t)?f(t)tf(t)?f(t)?? dydt解: ????t,?dx?dxf??(t)?f(t)?dt2dy2dx练习: P109 题8(1)
2?t?????f(t)?dy?1解: ?;dxtdy?2dx21t2t1?3t内容小结 1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘,
连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4 隐函数
