淮 海 工 学 院
7.设?可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中?只能是---------------------------------------------------------------（B ） 10 - 11 学年第2学期线性代数(高职) 期末试卷（A卷）
答案及评分标准
题号 一 二 三 1 2 3 4 四 五 六 七 总分 核分人 (填首卷) 分值 24 16 7 7 7 7 8 8 8 8 100 得分 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
1. 若行列式的所有元素都变号，则--------------------------------------------------（ D ）
(A) 行列式一定变号 (B) 行列式一定不变号 (C) 偶阶行列式变号 (D) 奇阶行列式变号
2. 设A,B均为n阶方阵，则下面各式正确的是-----------------------------------（ C ）
(A)(AB)T?ATBT (B) (AB)2?A2B2 (C) |AB| ? |BA| (D)AB?BA
a11a12a13a115a11?3a12a133．设行列式D=a21a22a23=3，D1=a215a21?3a22a23，则D1的值为（ c ） a31a32a33a315a31?3a32a33(A)-1 (B)-6 (C)9 (D)15
4.设A是3×4矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量个数是---------------------------------------------------------------------------------------（ b ） (A) 1 (B) 2 (C)3 (D)4 5. 设A为n阶方阵，?是非零常数，则?A?-----------------------------------（ C ）
(A)
?A (B) ?A (C) ?nA (D) ?nA
6．已知?(1,?2,4)T,?(2,?4,x)T1?2?线性相关的，则x? --------------------（ A ） (A) 8 (B) ?8 (C) -4 (D) 4
(A)（2，1，1） (B)（-3，0，2） (C)（1，1，0） (D)（0,-1,0）
8. 设矩阵A与B 相似，则下列说法中不正确的是---------------------------------(B) (A)A?1与B?1相似 (B)A与B有相同的特征向量 (C) A与B有相同的特征值 (D) A?B
二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）
?100?1.设A???0?10??，则A?1? ?1 ，?2A??1? ?1 。
??122??21601002. 行列式
00200003= -24 。 45673.设A???13???20?，则?A*? ??0?3?*?21? ，A?= 6 。
?14. 设矩阵A??23??213??的特征值为?1,?2,?3，则?1??2??3? 11 ，
??369???1?2?3? 0 。
三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）
1?2101. 计算行列式03?2?14?106。
12?63解：利用行列式的性质得
1?21010003?2?103?2?103?2?1??7?46...........................................4分410647?464?7312?6314?7300?125?16?25?166???117..............................................................3分323．已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，求A?5A?7A
解：?A?6，--------------------------------------------------------------------------------1?
?当A的特征值为1,2,3时， -----------------------2?
f?A??A3?5A2?7A的特征值为3,2,3-----------------------3?
32所以A?5A?7A?18------------------------------------------------------1?
13?13313?13?100?2．设矩阵A??B??1?220?01???,??345???011??
试求（1）A?2E,ABT（其中E为单位矩阵） （2）A?1??100?A?2E???200???33?,4???0??ABT??10?220??10?
??10???345??01??????22???11?????89???（2）?A,E???100100???1001?220010??1??345001?????010???001?15??100??A?1????110??2? ??15?2515???
00?1?20?? ?2515???4. 设方阵A满足A2?2A?3E?0，试证A及?A?2E?可逆并求A?1及
?A?2E??1
解：由A2?2A?3E?0得A(A?2E)??3E，-------------------------------------------1?
所以A?1??13(A?2E)，----------------------------------------------------------------2?
由A2?2A?3E?0得(A?4E)(A?2E)??5E，------------------------------2?
所以(A?2E)?1??15(A?4E)，---------------------------------------------------2?
四、计算题（本题8分）
??x1?x2?x3?问?取何值时，齐次线性方程组?0?x?1??x2?x3?0有非零解？
?x1?x2??x3?0??11??11??解：A???1?1??????0??11????
?11?????00????1????2???则??1或???2
五、计算题（本题8分）
求向量组
?T1?(1,0,2,1),?2?(1,2,0,1)T,?3?(2,1,3,0)T,?T4?(2,5,?1,4)?5?(1,?1,3,?1)T
的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。 解：记A???1?2?3?4?5?，对A进行初等行变换得
??11221??10010?A??0215?1???103?1??~r?0??203?13??001?11?----------------------------------3 ?1104?1????00000???R(A)?3，------------------------------------------------------------------------------1
一个最大无关组为?1,?2,?3------------------------------------------------------------------2?且?4??1?3?2??3，?4???2??3------------------------------------------------2?
六、计算题（本题8分）
?x1??5求方程组?x2?2x1?x2?x3?2x4?1的通解。
??5x1?3x2?2x3?2x4?3~?解：A??11005??21121?r???~?1010?8??01?1013??,--------------------------5?
?53223????00012????x1?????1?????8?通解为?x2???k?1??13??x??,k?R----------------------------------3?
3??x???1???0?4??0???2??
七、计算题（本题8分）
设二次型f?x1,x2222,x3??x1?x2?x3?2x1x2
（1） 求该二次型对应的矩阵A；
（2） 求A的特征值与特征向量；
（3） 求一个正交变换把二次型化为标准型。
?解：（1）A??110??110??-----------------------------------------------------------------------2?
??001??1??10（2）A??E?11??0???(??1)(??2) 001??知?1?0,?2?1,?3?2--------------------------------------------------------------------------1? 对?1?0有特征向量?1?(?1,1,0)T，单位化后为p1?(?1,1,0)T22-----------1? 对?2?1有特征向量?2?(0,0,1)T ?p2---------------------------------------------------1? 对?3?2有特征向量?3?(1,1,0)T，单位化后为p3?(12,12,0)T---------------1? ???101??22?取P?(p?1?1,p2,p3)??201??2? ??010?????作正交变换X?PY，则有f?y222?2y3-------------------------------------------------2?
10-11-2线性代数(高职)A卷及答案
