课时考点空间向量及应
用
Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
课时考点17 空间向量及其应用
高考考纲透析：
线线,线面,面面的平行与垂直,空间角与距离,棱柱,棱锥,球,空间向量
高考热点：
异面直线所成的角,直线和平面平行,垂直的判定与性质,两个平面垂直的判定与性质,直线和平面所成的角,二面角及其平面角,点到平面的距离
知识整合:
用空间向量可以解决的立体几何问题有:
㈠利用两个向量共线的条件和共面向量定理,可以证明有关线线平行,线面平行,面面平行问题
㈡利用两个向量垂直的充要条件可以证明有关线线,线面,面面垂直问题 ㈢利用两个向量的夹角公式可以求解有关角的问题
㈣利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以求解有关的距离问题
热点题型1 求异面直线所成的角
已知直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2，底面ABCD是直角梯形，?A?90，AB//CD，AB?4，AD?2，DC?1，求异面直线BC1与DC所成的角的大小（结果用反三角函数表示）
D1C1
A1B1
CD BA
[解]由题意AB∥CD,∴∠C1BA是异面直线BC1与DC 所成的角.连结AC1与AC,在Rt△ADC中,可得AC=5.
又在Rt△ACC1中,可得AC1=3.
在梯形ABCD中,过C作CH∥AD交AB于H, 得∠CHB=90°,CH=2,HB=3, ∴CB=13.
又在Rt△CBC1中,可得BC1=17, 在△ABC1中,cos∠C1BA=
317317,∴∠C1BA=arccos 1717317 17D1A1DC异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos
另解:如图,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1所在
直线为x、y、z轴建立直角坐标系.
则C1(0,1,2),B(2,4,0), ∴BC1=(－2,－3,2),
CD=(0,－1,0),设BC1与CD所成的角为θ,
zC1B1yBxA则cosθ=BC1?CDBC1?CD=
317317,θ= arccos. 1717317 17异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos
热点题型2 求直线与平面所成的角
如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
(Ⅰ)求证OD∥平面PAB
(Ⅱ) 求直线OD与平面PBC所成角的大小；
12PDAOBC
解：方法一：
(Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC中点，
PDFAOBEC? OD∥PA
又PA?平面PAB
? OD∥平面PAB
(Ⅱ) AB?BC，OA?OC， ? OA?OB?OC，又 OP?平面ABC
? PA?PB?PC.
取BC中点E，连结PE，则BC?平面POE 作OF?PE于F，连结DF，则OF?平面PBC ? ?ODF是OD与平面PBC所成的角. OF210?, OD30210? OD与平面PBC所成的角为arcsin.
30在Rt?ODF中，sin?ODF?方法二：
OP?平面ABC，OA?OC，AB?BC，? OA?OB，OA?OP，OB?OP.
以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O?xyz?如图?，
?2?????22 设AB?a，则A?a,0,0,B0,a,0,C?a,0,0??????2??2??2???????设OP?h，则P?0,0,h?. Ⅰ?? D为PC的中点，
??2?21? ? OD???a,0,h, 又PA?a,0,?h????4??2?，2????1? OD??PA. ? OD∥PA. ? OD∥平面PAB. 2zPD?Ⅱ?
PA?2a,
xAOBCy
? h?7a, 2?214? ? OD???a,0,a??4?,4???1? 可求得平面PBC的法向量n????1,1,7??,??? cos?OD,n??OD?nOD?n?210. 30 设OD与平面PBC所成的角为?，则 sin??cos?OD,n??210, 30210 30? OD与平面PBC所成的角为arcsin
热点题型3 二面角及点到面的距离的求法
如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE； CD（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小； （Ⅲ）求点D到平面ACE的距离. FAB
E（I）BF?平面ACE,?BF?AE,
二面角D-AB-E为直二面角，?平面ABCD?平面ABE， 又BC?AB，?BC?平面ABE，?BC?AE,
又BF?平面BCE，BFBC=B，?AE?平面BCE。
（II）连结AC、BD交于G，连结FG，∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴FG⊥AC，∠FGB为二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=2，
课时考点空间向量及应用
