课时考点空间向量及应
用
Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
课时考点17 空间向量及其应用
高考考纲透析:
线线,线面,面面的平行与垂直,空间角与距离,棱柱,棱锥,球,空间向量
高考热点:
异面直线所成的角,直线和平面平行,垂直的判定与性质,两个平面垂直的判定与性质,直线和平面所成的角,二面角及其平面角,点到平面的距离
知识整合:
用空间向量可以解决的立体几何问题有:
㈠利用两个向量共线的条件和共面向量定理,可以证明有关线线平行,线面平行,面面平行问题
㈡利用两个向量垂直的充要条件可以证明有关线线,线面,面面垂直问题 ㈢利用两个向量的夹角公式可以求解有关角的问题
㈣利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以求解有关的距离问题
热点题型1 求异面直线所成的角
已知直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,AA1?2,底面ABCD是直角梯形,?A?90,AB//CD,AB?4,AD?2,DC?1,求异面直线BC1与DC所成的角的大小(结果用反三角函数表示)
D1C1
A1B1
CD BA
[解]由题意AB∥CD,∴∠C1BA是异面直线BC1与DC 所成的角.连结AC1与AC,在Rt△ADC中,可得AC=5.
又在Rt△ACC1中,可得AC1=3.
在梯形ABCD中,过C作CH∥AD交AB于H, 得∠CHB=90°,CH=2,HB=3, ∴CB=13.
又在Rt△CBC1中,可得BC1=17, 在△ABC1中,cos∠C1BA=
317317,∴∠C1BA=arccos 1717317 17D1A1DC异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos
另解:如图,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1所在
直线为x、y、z轴建立直角坐标系.
则C1(0,1,2),B(2,4,0), ∴BC1=(-2,-3,2),
CD=(0,-1,0),设BC1与CD所成的角为θ,
zC1B1yBxA则cosθ=BC1?CDBC1?CD=
317317,θ= arccos. 1717317 17异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos
热点题型2 求直线与平面所成的角
如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=PA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.
(Ⅰ)求证OD∥平面PAB
(Ⅱ) 求直线OD与平面PBC所成角的大小;
12PDAOBC
解:方法一:
(Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC中点,
PDFAOBEC? OD∥PA
又PA?平面PAB
? OD∥平面PAB
(Ⅱ) AB?BC,OA?OC, ? OA?OB?OC,又 OP?平面ABC
? PA?PB?PC.
取BC中点E,连结PE,则BC?平面POE 作OF?PE于F,连结DF,则OF?平面PBC ? ?ODF是OD与平面PBC所成的角. OF210?, OD30210? OD与平面PBC所成的角为arcsin.
30在Rt?ODF中,sin?ODF?方法二:
OP?平面ABC,OA?OC,AB?BC,? OA?OB,OA?OP,OB?OP.
以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系O?xyz?如图?,
?2?????22 设AB?a,则A?a,0,0,B0,a,0,C?a,0,0??????2??2??2???????设OP?h,则P?0,0,h?. Ⅰ?? D为PC的中点,
??2?21? ? OD???a,0,h, 又PA?a,0,?h????4??2?,2????1? OD??PA. ? OD∥PA. ? OD∥平面PAB. 2zPD?Ⅱ?
PA?2a,
xAOBCy
? h?7a, 2?214? ? OD???a,0,a??4?,4???1? 可求得平面PBC的法向量n????1,1,7??,??? cos?OD,n??OD?nOD?n?210. 30 设OD与平面PBC所成的角为?,则 sin??cos?OD,n??210, 30210 30? OD与平面PBC所成的角为arcsin
热点题型3 二面角及点到面的距离的求法
如图,直二面角D—AB—E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(Ⅰ)求证AE⊥平面BCE; CD(Ⅱ)求二面角B—AC—E的大小; (Ⅲ)求点D到平面ACE的距离. FAB
E(I)BF?平面ACE,?BF?AE,
二面角D-AB-E为直二面角,?平面ABCD?平面ABE, 又BC?AB,?BC?平面ABE,?BC?AE,
又BF?平面BCE,BFBC=B,?AE?平面BCE。
(II)连结AC、BD交于G,连结FG,∵ABCD为正方形,∴BD⊥AC,∵BF⊥平面ACE,∴FG⊥AC,∠FGB为二面角B-AC-E的平面角,由(I)可知,AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB,又AE=EB,AB=2,AE=BE=2,
课时考点空间向量及应用
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