定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。
说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号。
四、其它因式分解的方法
说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解。当然，本题还有其它方法，请大家试验。
2．拆、添项法
【例12】分解因式x3?3x2?4
分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决。
说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件。本题还可以将?3x2拆成x?4x，将多项式分成两组
22【例10】把下列各式因式分解： (1) 12x2?5x?2
(2) 5x2?6xy?8y2
1．配方法
【例11】分解因式x2?6x?16
(x3?x2)和?4x2?4。
一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；
(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
第三讲 一元二次方程根与系数的关系（一课时）
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用。本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述。
一、一元二次方程的根的判断式
一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)，用配方法将其变形为：
b2b2?4ac(x?)? 22a4a(1) 当b2?4ac?0时，右端是正数。因此，方程有两个不相等的实数根：
?b?b2?4ac x?2a(2) 当b2?4ac?0时，右端是零。因此，方程有两个相等的实数根：x1,2??(3) 当b2?4ac?0时，右端是负数。因此，方程没有实数根。
由于可以用b2?4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况。因此，把b2?4ac叫做一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)的根的判别式，表示为：??b2?4ac
【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) 2x2?3x?1?0
说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式。
【例2】已知关于x的一元二次方程3x2?2x?k?0，根据下列条件，分别求出k的范围：
【例3】已知实数x、y满足x2?y2?xy?2x?y?1?0，试求x、y的值。
二、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)的两个根为： (1) 方程有两个不相等的实数根； (3)方程有实数根；
(2) 方程有两个相等的实数根； (4) 方程无实数根。
(2) 4y2?9?12y
(3) 5(x2?3)?6x?0
b 2ax=
1?b?b2?4ac2a, x2=
?b?b2?4ac2a
?b?b2?4ac?b?b2?4acb所以：x1?x2????，
2a2aa
?b?b2?4ac?b?b2?4ac(?b)2?(b2?4ac)24accx1?x2????2? 22a2aa(2a)4a定理：如果一元二次方程ax2?bx?c?0 (a?0)的两个根为x1,x2，那么：
bcx1?x2??,x1x2?
aa说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”。上述定理成立的前提是??0。
【例4】若x1,x2是方程x2?2x?2007?0的两个根，试求下列各式的值： (1) x12?x22； (2)
11?； (3) (x1?5)(x2?5)； (4) |x1?x2|。 x1x2分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算。这里，可以利用韦达定理来解答。
说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
x12?x22?(x1?x2)2?2x1x2，
11x1?x2，(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2， ??x1x2x1x2|x1?x2|?(x1?x2)2?4x1x2，x1x22?x12x2?x1x2(x1?x2)，
x13?x23?(x1?x2)3?3x1x2(x1?x2)等等。韦达定理体现了整体思想。 【例5】已知关于x的方程x2?(k?1)x?12k?1?0，根据下列条件，分别求出k的值。 4(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根x1,x2满足|x1|?x2。
分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是x1?x2?0，二是?x1?x2，所以要分类讨论。
说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足??0。
【例6】已知x1,x2是一元二次方程4kx2?4kx?k?1?0的两个实数根。
3(1)是否存在实数k，使(2x1?x2)(x1?2x2)??成立？若存在，求出k的值；
2
若不存在，请您说明理由。
(2)求使
x1x2??2的值为整数的实数k的整数值。 x2x1
说明：(1)存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在。
4（2）本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法。
k?1
第四讲 不 等 式（两课时）
初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法。高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识。本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识。
一、一元二次不等式及其解法
1．形如ax2?bx?c?0(或?0) (其中a?0)的不等式称为关于x的一元二次不等式。 2．一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)与二次函数y?ax2?bx?c (a?0)及一元二次方程ax2?bx?c?0的关系(简称：三个二次)。以二次函数y?x2?x?6为例：
(1) 作出图象；
(2) 根据图象容易看到，图象与x轴的交点是
(?3,0),(2,0)，即当x??3或2时，y?0。就是说对应的一元
二次方方。就
程x2?x?6?0的两实根是x??3或2。
(3) 当x??3或x?2时，y?0，对应图像位于x轴的上是说x2?x?6?0的解是x??3或x?2。
当?3?x?2时，y?0，对应图像位于x轴的下方。就是说x2?x?6?0的解是
?3?x?2。
一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象。
①如果图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)，此时对应的一元二次方程有两个 不相等的实数根x1,x2(也可由根的判别式??0来判断)。
那么(图1)： ax2?bx?c?0 (a?0) ? x?x1或x?x2
ax2?bx?c?0 (a?0) ? x1?x?x2
②如果图象与x轴只有一个交点
b(?,0)，此2a时对应的一
元二次方程有两个
b相的实数根xx?x2??(也可由根的判别式??0来判断)。
2ab那么(图2)： ax2?bx?c?0 (a?0) ? x??
2a
ax2?bx?c?0 (a?0) ?无解
③如果图象与x轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由 根的判别式??0来判断) 。
那么(图3)： ax2?bx?c?0 (a?0) ? x取一切实数
ax2?bx?c?0 (a?0) ?无解
如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理： (1) 化二次项系数为正；
(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根x1,x2．那么“?0” 型的解为x?x1或x?x2(俗称两根之外)；“?0”型的解为x1?x?x2(俗称两根之间)；
b24ac?b2(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成ax?bx?c?a(x?)?，
2a4a2结合完全平方式为非负数的性质求解。
【例1】解不等式x2?x?6?0。
分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则——正正(负负)得正、
正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组。
说明：当把一元二次不等式化为ax2?bx?c?0(或?0)的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法。
【例2】解下列不等式：
(1) (x?2)(x?3)?6
(2) （x-1）(x+2)?(x-2)(2x+1)
分析：要先将不等式化为ax2?bx?c?0(或?0)的形式，通常使二次项系数为正数。
初高中数学衔接教材经典word版含答案
