2013年全国高中数学联赛江西省预赛
试题解答
一、填空题（每题8分）
1、若2013的每个质因子都是某个正整数等差数列?an?中的项，则a2013的最大值
是 ．
答案：4027．
解：2013?3?11?61，若3,11,61皆是某正整数等差数列中的项，则公差d应是
11?3?8与61?3?58的公因数，为使a2013取得最大，则其首项a1和公差d都应取尽可能
大的数，于是a1?3,d?2，所以a2013的最大值是3?2012d?4027．
1232、若a,b,c?0，???1，则a?2b?3c的最小值为 ．
abc答案：36．
解：据柯西不等式，a?2b?3c??a?2b?3c??2?123??????1?2?3??36． ?abc??123?n3、若Sn?n!?????L??1?，则S2013? ．
(n?1)!??2!3!4!答案：?解：因
1． 2014k(k?1)?111???，则
(k?1)!(k?1)!k!(k?1)!123n1?12?13?1(n?1)?11???L?????L??1? 2!3!4!(n?1)!1!2!3!(n?1)!(n?1)!??1??11?1??所以，Sn?n!??1?，故． S??2013??2014(n?1)!n?1????4、如果一个正方体X与一个正四面体Y的表面面积（各面面积之和）相等，则其体
积之比
Vx? ． Vy答案：43．
解：记表面面积为12（平方单位），则正方体每个面的面积为2，其边长为2，所以
132Vx?2；正四面体每个面的面积为3，设其边长为a，则由a?3，得a?2?34；
432于是Vy?2?332?14，因此
1Vx?34?43． Vy5、若椭圆中心到焦点，到长、短轴端点，以及到准线距离皆为正整数，则这四个距离
之和的最小值是 ．
答案：61．
x2y2解：设椭圆方程为2?2?1，a?b?0，椭圆中心O到长、短轴端点距离为a,b，
aba2到焦点距离c满足：c?a?b，到准线距离d满足：d?，由于a,b,c组成勾股数，
c222满足a?20的勾股数组有?a,b,c???3,4,5?,?6,8,10?,?9,12,15?,?12,16,20?,?5,12,13?,
152202?25与?25，而(a,b,c,d)?(15,12,9,25)使得 以及?8,15,17?，其中只有916a?b?c?d的值为最小，这时有a?b?c?d?61．
6、函数f(x)?3x?6?3?x的值域是 ．
答案：[1,2]．
解：f(x)?3(x?2)?3?x的定义域为[2,3]，故可设x?2?sin则f(x)?3sin而
22? ?(0???)，
2???1?sin2??3sin??cos??2sin(??)，
6?2?1?，这时?sin(??)?1，因此1?f?2．
66326， 7、设合数k满足：1?k?100，而k的数字和为质数，就称合数k为“山寨质数”?????则这种“山寨质数”的个数是 ．
答案：23个．
解：用S(k)表示k的数字和；而M(p)表示山寨为质数p的合数的集合．当k?99时，
S(k)?18，不大于18的质数共有7个，它们是：2,3,5,7,11,13,17，山寨为2的合数有
M(2)??20?，而M(3)??12,21,30?,M(5)??14,32,50?,M(7)??16,25,34,52,70?； M(11)??38,56,65,74,92?，M(13)??49,58,76,85,94?，M(17)??98?；
共得23个山寨质数．
8、将集合?1,2,3,4,5,6,7,8?中的元素作全排列，使得除了最左端的一个数之外，对
于其余的每个数n，在n的左边某个位置上总有一个数与n之差的绝对值为1，那么，满足条件的排列个数为 ．
答案：128．（即27个）．
解：设对于适合条件的某一排列，排在左边的第一个元素为k，(1?k?8)，则在其余
7个数中，大于k的8?k个数k?1,k?2,L,8，必定按递增的顺序排列；而小于k的k?1个数1,2,L,k?1，必定按递降的顺序排列（位置不一定相邻）
事实上，对于任一个大于k的数k?n，设k?n?8，如果k?n?1排在k?n的左边， 则与k?n?1相差1的另一数k?n?2就必须排在k?n?1的左边；同样，与k?n?2相差1的另一数k?n?3又必须排在k?n?2的左边；…，那么，该排列的第二个数不可能与k相差1，矛盾！因此k?n?1必定排在k?n的右边．
用类似的说法可得，小于k的k?1个数1,2,L,k?1，必定按递降的顺序排列；
由于当排在左边的第一个元素k确定后，右边还有7个空位，从中任选8?k个位置填写大于k的数，（其余k?1个位置则填写小于k的数），选法种数为C7则填数方法随之唯一确定，因此所有排法种数为
二、解答题
2（20分）设直线x?y?1与抛物线y?2px(p?0)交于点A,B，若OA?OB，9、
8?k；而当位置选定后，
?Ck?188?k7??C7j?27．
k?07求抛物线方程以及?OAB的面积．
解：设交点A(x1,y1),B(x2,y2)，由
yDACy2?2px与x?y?1，得y2?2py?2p?0，
Ox故有x1?1?p?以及x2?1?p?p2?2p,y1??p?p2?2p， p2?2p,y2??p?p2?2p．
Buuuruuur因OA?OB，即OA?OB?0，所以x1x2?y1y2?0，即
2222???(1?p)?(p?2p)?p?(p?2p)??????0，化简得1?2p?0，因此抛物线方程为
?3?5?1?5??3?5?1?5?y2?x，从而交点A,B坐标为：A?,B?,， ???2,???2??22??22OA2?x12?y12?5?25,OB2?x2?y2?5?25，
因此S?OAB?11OA?OB?5． 22（20分）如图，四边形ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，P是对角线BD10、
上的一点；直线EP,PF分别交AB,DC的延长线于M,N．
证明：线段MN被直线EF所平分．
证：设EF交MN于G，直线EF截?PMN，则
NGMEPF???1；为证G是线段GMEPFNMN的中点，只要证，
直线AB截?PDE， 得
PFPE … ①， ?NFMEAEDPMEADBMPBP … ②， ???1，即?MEADBP2MEBDPBCPNFCBDF直线CD截?PBF，则有???1，
NFCBDPNNPPDG即 … ③， ?M2NFBDMPNPNPMPPFPE②③相加得，也即，因此结论得证． ??2，即?1?1??MENFNFMENFME（20分）在非钝角三角形ABC中，证明：sinA?sinB?sinC?2． 11、
证一：sinA?sinB?sinC?2?sinA?sinB?sin(A?B)
?(sin2A?cos2A)?(sin2B?cos2B)
?sinA(1?sinA)?sinB(1?sinB)?sin(A?B)?(cos2A?cos2B)
?sinA(1?sinA)?sinB(1?sinB)?cosB(sinA?cosB)?cosA(sinB?cosA)?0．
这里用到，在非钝角三角形ABC中，任两个内角之和不小于90，所以由A?B?90，得A?90?B,B?90?A，因此sinB?sin(90?A)?cosA，同理sinA?cosB, 而1?sinA，1?sinB不能同时为0．从而结论得证．
证二：sinA?sinB?sinC?2?sinA?sinB?sin(A?B)?2sin(00000A?BC?) 22?2sinA?BA?BA?BA?BA?BCA?BCcos?2sincos?2sincos?2cossin22222222A?BA?BCA?BA?BC(cos?cos)?2cos(sin?sin) 222222A?BA?C?BB?C?AA?BCC?4sinsinsin?2cos(cos?sin)?0；
222222?2sin（这是由于，锐角三角形?ABC中，任两个内角之和大于90，而任一个半角小于45；）
所以 sinA?sinB?sinC?2． 证三：令x?tan00ABC,y?tan,z?tan，则xy?yz?zx?1，且 222sinA?2x2y2z,sinB?,sinC?； 2221?x1?y1?z2x2y2z???2 … ①，因为 1?x2?(x?y)(x?z)， 2221?x1?y1?z即要证
1?y2?(y?x)(y?z),1?z2?(z?x)(z?y)，
故①式即
4?2，也即(x?y)(y?z)(x?z)?2，
(x?y)(y?z)(x?z)
… ②
即 x?y?z?xyz?2 而因
ABC?,,?(0,]，故x,y,z?(0,1]，所以(1?x)(1?y)(1?z)?0， 2224即 1?(x?y?z)?(xy?yz?xz)?xyz?0． 此式即为 x?y?z?xyz?2 … ③
由③立知②式成立（③式强于②式），因此命题得证．
（26分）试确定，是否存在这样的正整数数列?an?，满足：a2013?2013，且对12、
每个k??2,3,L,2013?，皆有ak?ak?1?20或13；而其各项a1,a2,L,a2013的值恰好构成1,2,L,2013的一个排列？证明你的结论．
解：存在．由于20?13?33，而332013，（即有2013?33?61）；
我们注意到，“差”运算具有“平移性”，即是说，如果ak?ak?1?20或13，那么，对任何整数c，也有(ak?c)?(ak?1?c)?20或13；
为此，先将集合?1,2,L,33?中的数排成一个圈，使得圈上任何相邻两数之差皆为20或13，如图所示．
将此圈从任一间隙处剪开，铺成的线状排列
28152229291632310211142787a1,a2,L,a33，都满足ak?ak?1?20或13，
为将数列锁定，在前面添加一项a0?0，使数列a0,a1,a2,L,a33也满足条件，我们可选择与数33相邻的一个间隙剪开；例如从33右侧间隙剪开，并
3017424113118203313266193212255按顺时针排列，就成为：
0；13,26,6,19,32,12,25,5,18,31,11,24,4,17,30,10,23,3,16,29,9,22,2,15，
28,8,21,1,14,27,7,20,33；
若从33左侧间隙剪开，并按逆时针排列，则成为：0；20,7,27,14,L,6,26,13,33； 这两种排列都满足ak?ak?1?20或13；
记分段数列M0?(13,26,6,19,32,12,25,5,18,31,11,24,4,17,30,10,23,3,16,29，
9,22,2,15,28,8,21,1,14,27,7,20,33)?(a1,a2,L,a33)，而分段数列
Mk?(a1?33k,a2?33k,La33?33k)?(a1?33k,a2?33k,L,a33?33k)，k?1,2,L,60，
将这些段作如下连接：0,M0,M1,L,M60，所得到的数列a0,a1,a2,L,a2013满足条件． 因为，a2013?a33?33?60?a33?33?60?33?33?60?2013；对其中任意两个邻项ak,ak?1，若ak,ak?1属于同一个分段，显然有ak?ak?1?20或13；若相邻项ak,ak?1属于两个相邻段
Mn与Mn?1，则ak是Mn?1的首项：即ak?a1?33(n?1)?13?33(n?1)，而ak?1是Mn的
末项，即ak?1?a33?33n?33?33n，这时有
ak?ak?1??13?33(n?1)???33?33n??13，并且a1?a0?13，
a1,a2,L,a2013满足条件．因此，数列
全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
